Deje $a_n$ ser una secuencia de números reales positivos tales que $$a_n<\frac{a_{n-1}+a_{n-2}}{2}$$ Mostrar que $a_n$ converge.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?Mira la secuencia dada por $b_n := \max (a_{n-1},a_{n-2})$. Ahora, $a_n ≤ b_n$ todos los $n ∈ ℕ$, e $(b_n)$ es monótonamente nonincreasing, porque $$b_{n+1} = \max (a_n,a_{n-1}) ≤ \max(b_n, a_{n-1}) = b_n.$$ Desde $(b_n)$ es no negativa nonincreasing, tiene que convergen y por lo tanto también lo hace $(a_n)$, ya que puede sandwich.
Este argumento es incompleto, como se señaló en los comentarios: ¿Cuál es la otra parte de la torta? Sin embargo, sí terminar la pelea en los comentarios.
la siguiente línea de razonamiento puede ser un paso hacia una solución:
con un ligero cambio de notación, definir $s_0=a_0$ $n \ge 1$ deje $s_n=a_n+\frac12 a_{n-1}$. la pregunta ahora es: si $\{s_k\}$ es convergente, disminución de la secuencia de la no-negativos reales, ¿la secuencia de $\{a_k\}$ convergen?
describir las secuencias de su $n$-th términos como $n+1$-vectores $S_n$$A_n$. entonces podemos definir una secuencia de matrices cuadradas $Q_n$, tal que: $$ S_n = Q_n A_n $$ aquí, obviamente, $Q_0$ es sólo el valor escalar $1$, y cada una de las $Q_n$ $n \times n$ matriz cuyos elementos de la diagonal son todos los $1$, y cuyo único otro distinto de cero entradas se $q_{i+1,i}=\frac12$$i=0,\dots,n-1$.
las matrices $Q_n$ son nonsingular, con la recíproca $Q_n^{-1}$, cuyos elementos son (NB subíndices rango de$0$$n$) $$ q_{ij}^{-1}= \left( \frac{-1}{2} \right)^{j-i} $$ for $i \ge j$ y cero en caso contrario. esto nos da: $$ a_n = s_n - \frac12 s_{n-1} + \frac14 s_{n-2} -\dots + \left( \frac{-1}{2} \right)^n s_0 $$ si el límite de la secuencia de $s_n$$\lambda$, entonces: $$ a_n - \frac23 \lambda = \sum_{k=0}^n (s_{n-k}-\lambda) \left(\frac{-1}2\right)^k \\ = \sum_{k=0}^{n-N} (s_{n-k}-\lambda) \left(\frac{-1}2\right)^k +\left(\frac{-1}2\right)^{n-N}\sum_{k=1}^{N}(s_{n-N+k}-\lambda)\left(\frac{-1}2\right)^k $$
Lo mismo vale para una no lineal promedio como el límite superior en $a_n$.
Supongamos que $a_n \leq f(a_{n-1},a_{n-2}, \dots, a_{n-k})$ generalizados para un media de $f$, que para esta respuesta significa:
- $f(x_1,\dots,x_k)$ está aumentando en todas sus variables, y continua
- $f(a,a,a,\dots,a)=a$ todos los $a$
- $f$ tiene velocidad finita, que se define aquí a decir que el $\partial f / \partial{x_i} \geq c > 0$ por una constante $c$ y todos los $i=1,2,...,k$
(No se supone que $f$ es simétrica en sus variables, o diferenciable. La velocidad finita condición se establece con derivados sólo para simplificar la notación.)
Entonces: si la secuencia de $a_n$ está delimitado a continuación, converge.
Prueba.
1) $m_n = \max(a_{n},a_{n+1},\dots a_{n+k-1})$ satisface $m_n \geq m_{n+k}$
2) secuencia $m_{kn}+r$ tiene un límite de $M_r$ para cualquier entero$r$$n \to \infty$, porque es decreciente y acotada por debajo de
3) hay un número finito de valores de $M_r$, que es una función periódica de $r$ periodo $k$, pero todos ellos son iguales, debido a que el mayor $M_r$, se $\mathbb{M}$, debe (por la velocidad finita) vienen de máximos consecutivos de $k$-tuplas $(a_i, a_{i+1}, \dots, a_{i+k-1})$ que son infinitesimalmente cerca de $\mathbb{M}$; a continuación, la próxima $k$ los valores de ( $a_{i+k}$ $a_{i + 2k-1}$) son también (por la continuidad de $f$)$\mathbb{M}$, y un bloque de $2k$ valores infinitesimalmente cerca de $\mathbb{M}$ significa que todos los $M_r$ también se encuentran a menos que cerca de $\mathbb{M}$ (por generalizada decir, $f$ está entre el mínimo y el máximo de sus argumentos), por lo tanto igual.
4) Para las grandes $n$ $a_n$ convergen a $\mathbb{M}$, ya que este es el caso de las progresiones $n = r \mod k$ (o repetir el mismo argumento, como en (3), tomando bloques de $k$ términos cuyos máximos son cerca de $\mathbb{M}$).
El punto esencial es que la velocidad finita de reglas de oscilaciones entre los diferentes valores de limitación en las subsecuencias, como sucedería con $f(x,y)=x$.
hace el siguiente planteamiento llevan a ninguna parte? tenemos $$ a_{n+2}=\frac{a_{n+1}+a_n}{2} - \epsilon_n$$ donde $0 \lt \epsilon_n \lt \frac{a_{n+1}+a_n}{2}$. así que añadiendo, $$ a_{n+2}+a_{n+1} - a_1-a_0 = \frac12 (a_{n+1} - a_0) - \sum_{k=0}^n \epsilon_k $$ o $$ a_{n+2}+\frac12 a_{n+1} = a_1+\frac12 a_0 - \sum_{k=0}^n \epsilon_k $ de$ la definición de: $$s_{n+1} = a_{n+2} +\frac12 a_{n+1}$$ esto se convierte en $$s_{n+1} = s_0 - \sum_{k=0}^n \epsilon_k $$ que garantiza la convergencia de $s_n$