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$$\int_{0}^{\infty} \frac{\cos x - e^{-x^2}}{x} \, dx$$
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Los problemas relacionados con: (I), (II). Recordando la Mellin de transformación de una función $f$
$$ F(s) = \int_{0}^{\infty} x^{m-1}f(x) \,dx .$$
A continuación, consideramos que la más general integral
$$ F(s) = \int_{0}^{\infty} x^{m-1}\left(\cos x - e^{-x^2}\right) \, dx \,. $$
El valor de la integral en nuestro problema sigue tomando el límite cuando $s\to 0 $ en la integral anterior. La evaluación de la integral anterior da
$$ F(s) = \Gamma \left( s \ \ derecho) \cos \left( \frac{\pi \,s}{2} \right) - \frac{1}{2}\, \Gamma \left(\frac{s}{2} \right) \,.$$
Tomando el límite cuando $s \0 \,,$ obtenemos el resultado deseado
$$ \int_{0}^{\infty} \frac{\cos x - e^{-x^2}}{x} \ dx = -\frac{\gamma}{2}\,. $$
psychotik
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171
El resultado es
$$ \int_{0}^{\infty} \frac{\cos x - e^{-x^2}}{x} \, dx = -\frac{\gamma}{2},$$
donde $\gamma$ es el de Euler-Mascheroni constante.
Algunos cálculos directos están disponibles, pero yo prefiero considerarlo como una diferencia de algún tipo de registro-singularidades. usted puede encontrar un poco de método general en esta línea de aproximación para calcular las integrales de esta forma en mi blog.
Anthony Shaw
Puntos
858
El contorno de la integración a lo largo del contorno de $[0,R]\copa del Re^{i\pi/2[0,1]}\cup i[I,0]$ dice que $$ \int_0^\infty\frac{e^{ix}}{x^\alpha}\mathrm{d}x=e^{i\pi(1-\alpha)/2}\int_0^\infty\frac{e^{-x}}{x^\alpha}\mathrm{d}x\tag{1} $$ puesto que la integral a lo largo de la curva se desvanece como $R\to\infty$. Por lo tanto, $$ \begin{align} \int_0^\infty\frac{e^{ix}-e^{-x^2}}{x^\alpha}\mathrm{d}x y=e^{i\pi(1-\alpha)/2}\Gamma(1-\alpha)-\frac12\Gamma\left(\frac{1-\alpha}2\right)\\ &=\frac{e^{i\pi(1-\alpha)/2}\Gamma(2-\alpha)-\Gamma\left(\frac{3-\alpha}2\right)}{1-\alpha}\etiqueta{2} \end{align} $$ Tomar el límite de $(2)$ $\alpha\1^-$ uso de L'Hospital y el hecho de que $\Gamma'(1)=-\gamma$: $$ \begin{align} \int_0^\infty\frac{e^{ix}-e^{-x^2}}{x}\mathrm{d}x &=\frac{-\frac{i\pi}2+\gamma\frac\gamma2}{-1}\\[4pt] y=-\frac\gamma2+\frac{i\pi}2\etiqueta{3} \end{align} $$ Por lo tanto, tenemos tanto $$ \boxed{\bbox[5pt]{\displaystyle\int_0^\infty\frac{\cos(x)-e^{-x^2}}{x}\mathrm{d}x=-\frac\gamma2}}\tag{4} $$ y $$ \int_0^\infty\frac{\sin(x)}{x}\mathrm{d}x=\frac\pi2\etiqueta{5} $$ donde $\gamma$ es el de Euler-Mascheroni Constante.
