$\int_{0}^{\infty} \frac{\cos x - e^{-x^2}}{x} \, dx$ Evaluar la Integral

Question

Evaluar

$$\int_{0}^{\infty} \frac{\cos x - e^{-x^2}}{x} \, dx$$

Answer 1

Los problemas relacionados con: (I), (II). Recordando la Mellin de transformación de una función $f$

$$F(s) = \int_{0}^{\infty} x^{m-1}f(x) \,dx .$$

A continuación, consideramos que la más general integral

$$F(s) = \int_{0}^{\infty} x^{m-1}\left(\cos x - e^{-x^2}\right) \, dx \,.$$

El valor de la integral en nuestro problema sigue tomando el límite cuando $s\to 0$ en la integral anterior. La evaluación de la integral anterior da

$$F(s) = \Gamma \left( s \ \ derecho) \cos \left( \frac{\pi \,s}{2} \right) - \frac{1}{2}\, \Gamma \left(\frac{s}{2} \right) \,.$$

Tomando el límite cuando $s \0 \,,$ obtenemos el resultado deseado

$$\int_{0}^{\infty} \frac{\cos x - e^{-x^2}}{x} \ dx = -\frac{\gamma}{2}\,.$$

Answer 2

El resultado es

$$\int_{0}^{\infty} \frac{\cos x - e^{-x^2}}{x} \, dx = -\frac{\gamma}{2},$$

donde $\gamma$ es el de Euler-Mascheroni constante.

Algunos cálculos directos están disponibles, pero yo prefiero considerarlo como una diferencia de algún tipo de registro-singularidades. usted puede encontrar un poco de método general en esta línea de aproximación para calcular las integrales de esta forma en mi blog.

Answer 3

El contorno de la integración a lo largo del contorno de $[0,R]\copa del Re^{i\pi/2[0,1]}\cup i[I,0]$ dice que $$\int_0^\infty\frac{e^{ix}}{x^\alpha}\mathrm{d}x=e^{i\pi(1-\alpha)/2}\int_0^\infty\frac{e^{-x}}{x^\alpha}\mathrm{d}x\tag{1}$$ puesto que la integral a lo largo de la curva se desvanece como $R\to\infty$. Por lo tanto, $$\begin{align} \int_0^\infty\frac{e^{ix}-e^{-x^2}}{x^\alpha}\mathrm{d}x y=e^{i\pi(1-\alpha)/2}\Gamma(1-\alpha)-\frac12\Gamma\left(\frac{1-\alpha}2\right)\\ &=\frac{e^{i\pi(1-\alpha)/2}\Gamma(2-\alpha)-\Gamma\left(\frac{3-\alpha}2\right)}{1-\alpha}\etiqueta{2} \end{align}$$ Tomar el límite de $(2)$ $\alpha\1^-$ uso de L'Hospital y el hecho de que $\Gamma'(1)=-\gamma$: $$\begin{align} \int_0^\infty\frac{e^{ix}-e^{-x^2}}{x}\mathrm{d}x &=\frac{-\frac{i\pi}2+\gamma\frac\gamma2}{-1}\\[4pt] y=-\frac\gamma2+\frac{i\pi}2\etiqueta{3} \end{align}$$ Por lo tanto, tenemos tanto $$\boxed{\bbox[5pt]{\displaystyle\int_0^\infty\frac{\cos(x)-e^{-x^2}}{x}\mathrm{d}x=-\frac\gamma2}}\tag{4}$$ y $$\int_0^\infty\frac{\sin(x)}{x}\mathrm{d}x=\frac\pi2\etiqueta{5}$$ donde $\gamma$ es el de Euler-Mascheroni Constante.