Demostrar una línea que no se cruzan todos los 3 de los lados de un triángulo en los puntos del interior

Question

Aquí, se cuenta la historia de un competidor en la federación de rusia olimpíadas de matemáticas de 1945. El niño no resolver un solo problema, pero recibió un premio por escrito:

Pasé mucho tiempo tratando de demostrar que una línea recta no pueden cruzarse tres lados de un triángulo en su interior los puntos pero no pudo, a mi consternación, me di cuenta de que no tengo noción de lo que es una recta la línea es.

Suponga que el estándar de la geometría Euclidiana del plano. ¿Cuál es la forma más sencilla para probar esta afirmación? Se puede hacer sin la geometría analítica?

Como se observa en la cita, mucho de esto tiene que ver con cómo definir rigurosamente. Una pregunta relacionada es: ¿cómo es la geometría Euclidiana rigurosamente definido el día de hoy, y en particular, ¿qué es una línea? ¿Qué es un punto? Un triángulo?

Answer 1

Yunone es justo que este hecho es básicamente equivalente a la Pascua del postulado, que no puede ser comprobado de Euclides los axiomas de. Hay muchas lagunas en los axiomas correspondientes a la incidencia de los resultados que son obviamente cierto, si saco una foto y, por tanto, se encontraban a la izquierda no declarado, al igual que los dos círculos en su primera propuesta que se cruzan, y es por eso que Euclides los axiomas son insuficientes.

Así, una respuesta a su pregunta es que el resultado en cuestión es verdadero como consecuencia de la Pascua del postulado de si usted está utilizando un sistema de axiomas que incluye. Pero no hay geométricas sistema de axiomas que puede ser considerado como el estándar de la formulación de la geometría Euclidiana hoy en día. Más bien, la formulación estándar de hoy en día es en términos del plano Cartesiano. Los puntos son pares ordenados, las líneas son conjuntos de soluciones de ecuaciones lineales, la distancia está dada por la fórmula habitual, etc.

En esta formulación de la Pascua del postulado es un teorema que puede ser probada.

Una manera sencilla de ver esto es como consecuencia de Menelao teorema, que puede ser probada puramente algebraica. Si una línea cruzaba el interior de los tres lados, este teorema nos daría el producto de tres números positivos como -1.

Pero hay más directo, aunque fea manera de ver. Dada una línea de intersección de los interiores de todos los lados de un triángulo, se puede utilizar coordenadas para transformar esta declaración en una serie de ecuaciones y desigualdades entre los números reales y muestre que no puede ser satisfecho. Aquí están las poco atractivas detalles:

Traducciones de preservar y líneas de intermediación, por lo que traducir un vértice en el origen. Transformaciones lineales también conservar líneas y betweennes, para transformar a los otros dos vértices a (0,1) y (1,0). Por lo tanto, sin pérdida de generalidad podemos asumir que nuestros triángulo tiene vértices (0,0), (0,1) y (1,0). Ahora, supongamos que una línea que cruza los tres lados. Si fuera vertical, sería paralela a un lado, y por lo tanto no podía cruzan los tres. Por lo tanto, la recta es la gráfica de una función f(x). Supongamos que se intersecta con el interior de los dos bordes de la reunión el origen. Entonces

$0 < f(0) < 1$ y hay una r en $(0,1)$ tal que $f(r) = 0$. Por lo tanto $f(x)$ está disminuyendo así que puede ser escrito como $f(x) = mx + b$ donde$ m < 0$$0 < b < 1$, y también se $f(1)=m+b<f(r)=0$ a partir del hecho de que está disminuyendo.

$1-x$ es la ecuación del tercer lado. Echemos un vistazo a la intersección entre este lado y la línea definida por $f(x)$. Si $1-x = mx+b$,$(m+1)x=1-b$. Si se cruza el interior de este lado, $0 < x < 1$. Por lo tanto $m+1 > 0$, lo $1-b<m+1$, lo $m+b <0$. Pero $m+b > 0$ se demostró anteriormente. Por lo que es imposible para cualquier línea que cruzan el interior de los tres lados.

Esta prueba es feo, pero demuestra que la Pascua del postulado es un teorema que usted puede probar en el modelo Cartesiano de la geometría Euclidiana.

Answer 2

Una línea l divide el plano en dos mitades. De los tres puntos del triángulo a, B, C, dos de ellos definitivamente se encuentran en una mitad (por el principio del Palomar y de señalar que ninguno de ellos se encuentran en la misma línea, porque el problema inicial de la condición). Deja que estos dos puntos a, B. A continuación, la línea l no cruzan la línea AB del triángulo.

Answer 3

En un lugar de la mano agitando la forma y suponiendo que (a) la línea recta no se cruzan de un lado más de una vez, (b) intersección de un lado en un punto interior significa pasar de dentro a fuera del triángulo o desde el exterior al interior, y (c) la recta que comienza y termina fuera del triángulo:

Una línea recta se inicia fuera del triángulo. Si se cruza de un lado del triángulo en un punto interior, se la pasa en el interior del triángulo. Si se cruza otro lado del triángulo en un punto interior, se la pasa fuera del triángulo. Si se cruza un tercer lado del triángulo en un punto interior, se la pasa en el interior del triángulo, pero eso es imposible ya que termina fuera del triángulo y no hay más lados que se cruzan.

Answer 4

Deje $ABC$ ser el triángulo en cuestión y supongamos que la línea de $\ell$ cruza la relativa interior de los tres lados. En particular, $\ell$ no es paralelo a ninguno de los lados y en uno de los abiertos de la mitad de los espacios en los que se corta el plano no es exactamente uno de los tres vértices -podemos asumir que esto es $A$.

Ahora empezar a traducir $\ell$ paralelo a sí mismo en la dirección normal hacia $A$. Por hipótesis, $\ell$ cruza el interior de tres de los lados del triángulo, y esto no va a cambiar cuando podemos empezar a deslizarse hasta llegar a $A$. Después de ir a través de $A$, el número de segmentos cuyo interior la línea de intesects se han caído por dos, y nunca cambiar de nuevo. Pero podemos mover la línea lejos del triángulo, por lo que después de ir a través de $A$, el número de lados del triángulo en cuyo interior la línea cruza es cero.

Esto es absurdo.

Más generalmente, si $\mathcal A$ es un conjunto finito líneas distintas en el plano de tal manera que ninguna de las tres es el incidente a un punto y no dos son paralelas, entonces la paridad en el número de acotado los elementos de la cara poset $\mathcal L(\mathcal A)$ que una línea de $\ell$ paralela a ninguna de las líneas en $\mathcal A$ y que no pase a través de un punto de intersección de dos elementos de la $\mathcal A$, es el mismo que el de la paridad del número de elementos de a $\mathcal A$.