¿La igualdad de los polinomios característicos garantiza la equivalencia de las matrices?

Question

Tengo un examen de habilitación dentro de un par de días y estoy tratando de entender algunos ejemplos patológicos que tengo en mis apuntes. Voy a enumerar un problema similar del que conozco la solución y luego la pregunta.

Verdadero o falso: dejar $A,B \in \mathbb{Q}^{n \times n }$ Supongamos que $xI-A$ y $xI-B$ son equivalentes entonces $\det(xI-A) = \det(xI-B)$ .

Escribí en mis notas que esto es cierto porque dos matrices cualesquiera son equivalentes en $\mathbb{Q[x]}^{n \times n}$ si y sólo si tienen los mismos factores invariantes. Como el polinomio característico es un producto de los factores invariantes, se deduce que $\det(xI-A) = \det(xI-B)$ .

Verdadero o falso: dejar $A,B \in \mathbb{Q}^{n \times n }$ . Si $\det(xI-A) = \det(xI-B)$ (en $\mathbb{Q}[x]$ ) entonces $xI-A$ y $xI-B$ son equivalentes en $\mathbb{Q}[x]^{n \times n}$

Creo que esto es falso por el hecho de que la igualdad de determinantes no es lo suficientemente fuerte como para garantizar que todos los factores invariantes son iguales, pero no tengo un ejemplo.

Answer 1

Te han dado ejemplos fáciles para demostrar que el polinomio característico no es suficiente para determinar la similitud de las matrices. Aquí tienes un bonito problema relacionado:

Propuesta. Si $n\leq 3$ entonces dos matrices son similares si y sólo si tienen el mismo polinomio característico y el mismo polinomio mínimo.

Prueba. Que matrices similares tengan la misma característica y polinomios mínimos es inmediato. Supongamos ahora que $A$ y $B$ son $n\times n$ matrices con los mismos polinomios mínimos y característicos; pretendemos demostrar que $A$ y $B$ son similares.

El resultado es trivial para $n=1$ .

Si el polinomio característico se divide, tenemos tres casos: o bien el polinomio característico se divide en factores lineales distintos, en cuyo caso ambas matrices son diagonalizables con los mismos valores propios, por tanto similares; o bien el polinomio característico tiene factores repetidos. Si el polinomio característico es igual a una potencia pura (ya sea $(x-a)^2$ o $(x-a)^3$ entonces el polinomio mínimo determina completamente la forma canónica de Jordan de la matriz: diagonalizable si el polinomio mínimo es $(x-a)$ un bloque de tamaño $2\times 2$ (y uno de tamaño $1\times 1$ si $n=3$ ) si el polinomio mínimo es $(x-a)^2$ y un único bloque de Jordan de tamaño $3\times 3$ si el polinomio mínimo es $(x-a)^3$ por lo que las dos matrices tienen la misma forma canónica de Jordan, y por tanto son similares. Si el polinomio mínimo es de la forma $(x-a)^2(x-b)$ con $a\neq b)$ entonces las dos matrices son diagonalizables si el polinomio mínimo es $(x-a)(x-b)$ y ambos tienen una forma canónica de Jordan que consiste en un $2\times 2$ bloque asociado a $a$ y un $1\times 1$ bloque asociado a $b$ si el polinomio mínimo es $(x-a)^2(x-b)$ . En cualquier caso, las dos matrices tienen la misma forma canónica de Jordan, por lo que son similares.

Si el polinomio característico no se divide, entonces es cúbico irreducible, o un producto de un cuadrático irreducible y un factor lineal; de cualquier manera, el polinomio característico debe ser igual al polinomio mínimo, por lo que las dos matrices tienen la misma forma canónica racional, por lo que son similares. QED

Sin embargo, tan pronto como llegue a $4\times 4$ matrices, el resultado ya no es cierto. En concreto, las matrices $$\left(\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\qquad\text{and}\qquad \left(\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$$ ambos tienen el polinomio característico $x^4$ y el polinomio mínimo $x^2$ pero como sus formas canónicas de Jordan son diferentes, no son similares.

Entonces: el polinomio característico por sí mismo basta para determinar la similitud sólo en el trivial $1\times 1$ caso; la característica y el mínimo determinan conjuntamente la similitud en el $2\times 2$ y $3\times 3$ casos. Después, el mínimo y la característica puede determinan completamente la similitud en algunos casos, pero generalmente no son suficientes.

En cuanto a la equivalencia, como se ha señalado, dos matrices son equivalentes si y sólo si tienen el mismo rango. La dirección $4\times 4$ Las matrices anteriores tienen diferentes rangos, por lo que no son equivalentes, pero sí la misma característica y los mismos polinomios mínimos,

Answer 2

NO

La igualdad de la característica del polinomio de las matrices no garantiza la equivalencia de las matrices:Contraejemplo

supongamos que A= $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ y B= $\begin{pmatrix} 0&1 \\0& 0 \end{pmatrix}$

$p_A(x)=det(A-xI) =det(\begin{pmatrix} -x & 0 \\ 0 & -x \end{pmatrix}) =x^2$ $p_B(x)=det(B-xI) =det(\begin{pmatrix} -x & 1 \\ 0 & -x \end{pmatrix}) =x^2$

$p_A(x) = x^2 =p_B(x)$ pero rank(A) $\not=$ rango(B)...>>no son equivalentes.