Cardinalidad del cociente del anillo de $\mathbb{Z}[x]/(x^2-3,2x+4)$

Question

Este problema es de un examen de práctica en el que estaba trabajando.

¿Cuál es la cardinalidad del cociente $\mathbb{Z}[x]/(x^2-3,2x+4)$ ?

Pensamientos. Si puedo encontrar un anillo que es más fácil de manejar luego de esto, entonces puedo ir de allí. Así que creo que esta es isomorfo a $\mathbb{Z}_2[x]/(x^2-3,x+2)$. Y luego me he atascado.

¿Estoy correcto? ¿Qué debo buscar para hacer desde aquí?

Gracias por tu tiempo y tus respuestas.

Answer 1

Una ligera modificación de YACP la respuesta:

Si un anillo contiene un elemento $x$ satisfacción $x^2=3$$2x=-4$, entonces obtenemos $6=2x^2=-4x=8$, por lo tanto $2=0$, y el segundo, la relación llega a ser superfluos. Esto demuestra que $\mathbb{Z}[x]/(x^2-3,2x+4)=\mathbb{Z}/2[x]/(x^2-3)$.

Sólo quiero subrayar que usted no tiene que venir para arriba con ingeniosas combinaciones lineales de los generadores del ideal. Sólo compute dentro del cociente del anillo!

(De hecho, como de costumbre, también se puede ver esto como una aplicación de la Yoneda Lema: Las manipulaciones algebraicas anteriores muestran que $\hom(\mathbb{Z}[x]/(x^2-3,2x+4),-) \cong \hom(\mathbb{Z}/2[x]/(x^2-3),-)$.)

Answer 2

Sugerencia $\,\ \color{#c00}{x^2\equiv 3},\,\ \color{#0a0}{4\!+\!2x\equiv 0} \,\Rightarrow\,\color{#0a0}0\equiv \color{#0a0}{2(2\!+\!x)}(2\!-\!x) \equiv 2(4\!-\!\color{#c00}{x^2})\equiv 2(4\!-\!\color{#c00}3) \equiv \color{#f0f}2\ $

Por lo $\ I = (x^2\!-\!3,2x\!+\!4) = (x^2\!-\!3,\color{#f0f}2) = ((x\!+\!1)^2,2),\ $ $\ \Bbb Z[x]/I = \Bbb Z_2[x]/((x\!+\!1)^2)$

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Comentario $\ $ Esencialmente $\,(2\!-\!x)(2\!+\!x) = (2\!-\!\sqrt 3)(2\!+\sqrt 3)=1\,$ $\,\Bbb Z[x]/(x^2\!-\!3)\cong \,\Bbb Z[\sqrt 3]$

El resultado del cociente del anillo es $\,\cong \Bbb Z[\epsilon]/(\epsilon^2),\,$ el anillo de doble de los números de más de $\,\Bbb Z_2.\,$ esta doble número de anillos de ser útiles para la modelización algebraica derivados, tangente espacios, etc.