"Recíproca" de los derivados

Question

Deje $x,y$ 2 variables.

Cuando, a continuación, se ${dx\over dy }= {1\over {dy\over dx}}$? Supongo que es cierto para el total de los derivados, pero no estoy del todo seguro.

¿Qué acerca de si los derivados que son sólo las derivadas parciales?

Muchas gracias.

Answer 1

Esto es cierto para el total de productos derivados (suponiendo que los derivados son no-cero), El teorema que indica este es el llamado "teorema de la función Inversa". Para más de una variable, esto implica Jacobians en lugar de los derivados, pero la idea es la misma.

Answer 2

El siguiente programa de instalación debe ser lo suficientemente general: Tácitamente que subyace es un conjunto abierto (un "espacio de fases") $\Omega\subset{\mathbb R}^n$, y en $\Omega$ dos funciones escalares ("observables") $$X:\quad {\bf u}\mapsto X({\bf u})\ ,\qquad Y:\quad {\bf u}\mapsto Y({\bf u})$$ se definen. Cuando el punto de ${\bf u}$ se mueve alrededor en el tiempo de acuerdo a una ley $t\mapsto{\bf u}(t)\in\Omega$, entonces los "observables" $X$ $Y$ se convierten en funciones de tiempo, demasiado, y uno es llevado a considerar las funciones $$x(t):=x\bigl({\bf u}(t)\bigr)\ ,\qquad y(t):=y\bigl({\bf u}(t)\bigr)\ .$$ Por la regla de la cadena, estas funciones han de derivados $$\dot x(t)=\nabla X\bigl({\bf u}(t)\bigr)\cdot{\bf u}'(t)\ ,$$ y lo mismo para $y(\cdot)$. En cualquier instante dado la cantidad $${dy\over dx}:={\dot y(t)\over \dot x(t)}={\nabla Y\bigl({\bf u}(t)\bigr)\cdot{\bf u}'(t) \over \nabla X\bigl({\bf u}(t)\bigr)\cdot{\bf u}'(t)}$$ es, obviamente, el recíproco de ${dx\over dy}$.