Límite de una función. Problema de integración

Question

Tengo este problema:

Deje $c\in \mathbb{R}$. Si $\int_c^\infty f(x)dx$ converge, entonces $$\lim_{x\to \infty} f(x)$$ exist and is $0$. Moreover, if $f$ is monotonic, $\lim_{x\to \infty} xf(x)$ exist and is equal to $0$.

Aunque no puedo asumir que $f$ es continua, he tihis pregunta:

Si $F$ es una función continua con derivada primera, de tal manera que $$\lim_{x\to \infty}F(x)=L,$$ for some $L\in\mathbb{R}$. Is it true that $$\lim_{x\to \infty} F'(x)=0\;?$$

Answer 1

Es cierto iff $\rm\ lim\ F\,'$ existe. Andre dio un contraejemplo si $\rm\ lim\ F\,'$ no existe. Por el contrario:

Teorema $\ $ Si $\rm\,\ F + F\,'\!\to L\ $ $\rm\ x\to\infty\ $ $\rm\ F\to L,\ F\,'\!\to 0,\,\ $ por esta L'Hôpital slick truco:

$$\rm \lim_{x\to\infty}\ F(x)\ =\ \lim_{x\to\infty}\frac{e^x\, F(x)}{e^x}\ =\ \lim_{x\to\infty}\frac{e^x\, (F(x)+F\:'(x))}{e^x}\ =\ \lim_{x\to\infty}\ (F(x)+F\:'(x)) $$

El de arriba emplea ligeramente la forma generalizada de L'Hospital de la regla que se mencionan aquí.

Este folclore L'Hospital truco es algo notorio debido al hecho de que el problema ha aparecido en Hardy clásico de cálculo texbook Un Curso de Matemáticas Puras, pero con menos elegante solución. Por ejemplo, ver Landau; Jones: $\:$ a Hardy Viejo Problema, $\:$ Matemáticas. Revista 56 (1983) 230-232. A continuación hay una tabla con las distintas posibilidades, con ejemplos, donde FTE = no Existe.

Answer 2

Vamos $$F(x)=\frac{\sin(x^2)}{x}$$ A continuación, $\lim_{x\to\infty} F'(x)$ no existe.

Answer 3

André ya te dio un ejemplo muy simple, donde $\lim\limits_{x \to \infty } F(x) = 0$ pero $\underset{x \to \infty }{\lim \sup}\; F'(x) = 2$ $\underset{x \to \infty }{\lim \inf}\; F'(x) = -2$ (desde $F'(x) = 2\cos (x^2 ) - \frac{{\sin (x^2 )}}{{x^2 }}$). La modificación de $F$$F(x) = \frac{{\sin (x^3 )}}{x}$, además de obtener un ejemplo con $\underset{x \to \infty }{\lim \sup}\; F'(x) = \infty$ $\underset{x \to \infty }{\lim \inf}\; F'(x) = -\infty$ (desde $F'(x)=3x\cos (x^3 ) - \frac{{\sin (x^3 )}}{{x^2 }}$). Obviamente, en ambos ejemplos, $F$ no es una monotonía de la función.

Ahora vamos a dar un ejemplo de una (continuamente diferenciable) monótona creciente en función $F$$\lim\limits_{x \to \infty } F(x) = 1$, por lo que, no obstante, $\underset{x \to \infty }{\lim \sup}\; F'(x) = \infty$ (de modo que, en particular, $F'(x)$ no tienden a $0$$x \to \infty$). Primero definiremos una función continua $f:[0,\infty) \to [0,\infty)$ como sigue: para cada entero positivo $n$, $f(n)=0$, $f$ es linealmente creciente en el intervalo $\left[n,n+\frac1{2^{n+1}}\right]$, $f\left(n+\frac1{2^{n+1}}\right) = n$, $f$ es linealmente decreciente en el intervalo de $\left[n+\frac1{2^{n+1}},n+\frac1{2^n}\right]$, e $f\left(n+\frac1{2^n}\right)=0$; la de cualquier otro $x$, definimos $f(x)=0$. Entonces tenemos $$ \int_0^\infty {f(x)\,\mathrm dx} = \sum_{n = 1}^\infty {\int_n^{n + 2^{ - n} } {f(x)\,\mathrm dx} } = \sum_{n = 1}^\infty {\frac{n2^{-n}}{2}} = \frac12\sum_{n = 1}^\infty \frac{n}{2^n} = 1. $$ Ahora vamos a definir la función de $F$$F(x) = \int_0^x {f(t)\,\mathrm dt}$. A continuación, $$ \lim _{x \to \infty } F(x) = \lim _{x \to \infty } \int_0^x {f(t)\,\mathrm dt} = \int_0^\infty {f(t)\,\mathrm dt} = 1. $$ Por otro lado, por el Teorema Fundamental del Cálculo, $F'(x) = f(x)$. Ya que, para cualquier entero positivo $n$, $f\left(n+\frac1{2^{n+1}}\right) = n$, tenemos $$ \underset{x \to \infty }{\lim \sup}\; F'(x) = \underset{x \to \infty }{\lim \sup}\; f(x) = \infty . $$