Una manera de calcular e?

Question

Definir tres secuencias:

La primera secuencia es de $$n^n: 1,\ 4,\ 27,\ 256,\ 3125,\ 46656, \ldots$$

La segunda secuencia es que de las relaciones entre los miembros de la primera serie, o $$\frac{(n+1)^{n+1}}{n^n}: 4,\ \frac{27}4,\ \frac{256}{27}, \ \frac{3125}{256},\ \frac{46656}{3125},\ldots.$$

La tercera secuencia es la diferencia entre los miembros de la segunda secuencia, o $$\frac{(n+2)^{n+2}}{(n+1)^{n+1}} – \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n}: \frac{11}{4},\ \frac{295}{108},\ \frac{18839}{6912},\ \frac{2178311}{800000},\ \ldots.$$

La tercera secuencia converge hacia el e, desde arriba, y con bastante rapidez. Hay una prueba o una explicación de por qué esto debe ser así?

Answer 1

Veamos el error, suponiendo que conocemos el básico $e$ límite:

$$\left ( 1+\frac1{n} \right )^n = e^{n \log{\left (1+\frac1{n} \right )}} = e^{1-\frac1{2 n} + \frac1{3 n^2}+ \frac1{4 n^3}+O\left (\frac1{n^4}\right )} = e \left [1-\frac1{2 n} + \frac{11}{24 n^2}-\frac{7}{16 n^3}+O\left (\frac1{n^4}\right ) \right ]$$

Entonces

$$\begin{align} \left ( 1+\frac1{n+1} \right )^{n+1} &= e \left [1-\frac1{2 (n+1)} + \frac{11}{24 (n+1)^2}-\frac{7}{16 (n+1)^3}+O\left (\frac1{n^4}\right ) \right ] \\ &= e \left [1-\frac1{2 n} + \frac{23}{24 n^2}-\frac{89}{48 n^3}+O\left (\frac1{n^4}\right ) \right ] \end{align}$$

Por lo tanto, el OP de la secuencia de la que parece, por grande $n$:

$$\left(1+\frac 1{n+1}\right)^{n+1}+(n+1)\left[\left(1+\frac 1{n+1}\right)^{n+1}-\left(1+\frac 1{n}\right)^n\right] = e + \frac{e}{24 n^2} + O\left (\frac1{n^3}\right )$$

El error disminuye más rápidamente como sería de esperar - la $O(1/n)$ plazo se desvanece. Además, la secuencia de los enfoques $e$ desde arriba en lugar de abajo, como se observa.

ANEXO

La versión original de esta respuesta era incorrecta. Increíble que nadie votada abajo y la respuesta es incorrecta se 10 upvotes. Debería haber sido evidente para mí que uno necesita para expandir a $O(1/n^3)$ para obtener el comportamiento correcto. Creo que @robjohn vio esto y se puso a la respuesta correcta primero, pero era demasiado educado para hablar de esto en mi respuesta.

Answer 2

Acercamiento Elemental

Aquí es un acercamiento elemental que utiliza nada más que de Bernoulli de la desigualdad, y la Desigualdad de Bernoulli puede ser probada simplemente con la inducción como se muestra al final de esta respuesta. $$ \begin{align} &\frac{(n+2)^{n+2}}{(n+1)^{n+1}}\ –\ \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n}\\ &=(n+2)\left(1+\frac1{n+1}\right)^{n+1}-(n+1)\left(1+\frac1n\right)^n\\ &=\left(1+\frac1{n+1}\right)^{n+1}+(n+1)\left[\left(1+\frac1{n+1}\right)^{n+1}-\left(1+\frac1n\right)^n\right]\tag{1} \end{align} $$ Bernoulli la Desigualdad dice que $x\gt-1$, $$ (1+x)^n\ge1+nx\etiqueta{2} $$ por lo tanto, $$ \left(1-\frac{x}{1+x}\right)^n\ge1-n\frac{x}{1+x}\etiqueta{3} $$ y tomando recíprocos, $$ (1+x)^n\le\frac1{1-n\frac{x}{1+x}}\etiqueta{4} $$ La configuración de $x=-\frac1{n^2}$ en $(2)$ y $(4)$ muestra que $$ 1-\frac1n\le\left(1-\frac1{n^2}\right)^n\le1-\frac1{n+1}\etiqueta{5} $$ En cuenta la cantidad entre corchetes de $(1)$: $$ \begin{align} \left(1+\frac1{n+1}\right)^{n+1}-\left(1+\frac1n\right)^n &=\left[\left(\frac{(n+2)n}{(n+1)^2}\right)^{n+1}-\frac{n}{n+1}\right]\left(1+\frac1n\right)^{n+1}\\ &=\left[\left(1-\frac1{(n+1)^2}\right)^{n+1}-\frac{n}{n+1}\right]\left(1+\frac1n\right)^{n+1}\etiqueta{6} \end{align} $$ El uso de $(5)$, obtenemos $$ 0\le\left(1-\frac1{(n+1)^2}\right)^{n+1}-\frac{n}{n+1}\le\frac1{(n+1)(n+2)}\etiqueta{7} $$ En esta respuesta, se muestra que $\left(1+\frac1n\right)^{n+1}$ es la disminución en $n$ (de nuevo, con la Desigualdad de Bernoulli). Por lo tanto, para $n\ge1$, $$ \left(1+\frac1n\right)^{n+1}\le4\etiqueta{8} $$ La combinación de $(6)$, $(7)$, y $(8)$, se obtiene la siguiente estimación: $$ 0\le(n+1)\left[\left(1+\frac1{n+1}\right)^{n+1}-\left(1+\frac1n\right)^n\right]\le\frac4{n+2}\etiqueta{9} $$ La combinación de $(1)$ y $(9)$, obtenemos que $$ \lim_{n\to\infty}\left(\frac{(n+2)^{n+2}}{(n+1)^{n+1}}\ –\ \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n}\right)=e\etiqueta{10} $$

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Asintótica De Expansión

Podemos calcular la expansión asintótica $$ \begin{align} \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} &=n\left(1+\frac1n\right)^{n+1}\\ &=n\exp\left((n+1)\log\left(1+\frac1n\right)\right)\\ &=n\exp\left((n+1)\left(\frac1n-\frac1{2n^2}+\frac1{3n^3}-\frac1{4n^4}+O\left(\frac1{n^5}\right)\right)\right)\\ &=n\exp\left(1+\frac1{2n}-\frac1{6n^2}+\frac1{12n^3}+O\left(\frac1{n^4}\right)\right)\\ &=ne\left(1+\frac1{2n}-\frac1{24n^2}+\frac1{48n^3}+O\left(\frac1{n^4}\right)\right)\\ &=e\a la izquierda(n+\frac12-\frac1{24n}+\frac1{48n^2}+O\left(\frac1{n^3}\right)\right)\etiqueta{11} \end{align} $$ Por lo tanto, $$ \frac{(n+2)^{n+2}}{(n+1)^{n+1}} =e\a la izquierda(n+\frac32-\frac1{24n}+\frac1{16n^2}+O\left(\frac1{n^3}\right)\right)\etiqueta{12} $$ Restando da $$ \frac{(n+2)^{n+2}}{(n+1)^{n+1}}-\frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} =e\left(1+\frac1{24n^2}+O\left(\frac1{n^3}\right)\right)\etiqueta{13} $$

Answer 3

Tenga en cuenta que la computación $$(n+2)\left(1+\frac 1{n+1}\right)^{n+1}-(n+1)\left(1+\frac 1{n}\right)^n=$$$$=\left(1+\frac 1{n+1}\right)^{n+1}+(n+1)\left(\left(1+\frac 1{n+1}\right)^{n+1}-\left(1+\frac 1{n}\right)^n\right)$$

Debe reconocer los términos entre paréntesis a los poderes $n,n+1$ como la convergencia de $e$. El segundo término - la diferencia multiplicada por $n+1$ no, obviamente, ir a cero - al menos no de inmediato. Su análisis sugiere que el término de error disminuye más rápidamente que cuando se tiene el primer término solos - y que en sí mismo es interesante.

Otros tal vez analizar la tasa de convergencia, o usted puede intentar usted mismo.

Answer 4

Esta es una continuación de @Marca Bennet respuesta en la que voy a mostrar, ¿por qué el límite es de hecho $e$.

Nos vamos a concentrar en el plazo $T_n=(n+1)\left(\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}-\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right)$.

En primer lugar, hacer un par de modificaciones: $$ T_n=(n+1)\left(\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}-\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right)=\\ (n+1)\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n}-(n+1)\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\\ (n+2)\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n}-(n+1)\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\\ \underbrace{\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n}}_{u_n}+\underbrace{(n+1)\left(\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n}-\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right)}_{v_n} $$ Como podemos ver con bastante facilidad, $u_n$ converge a $e$. Por $v_n$ utilizamos el conocido factorización $a^n-b^n=(a-b)\cdot\sum_{i=0}^{n-1}^rb^{n-1-r}$: $$ v_n=(n+1)\left(\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n}-\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right)=\\ (n+1)\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}\right)\sum_{r=0}^{n-1}\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^r\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n-1-r}=\\ -\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^r\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n-1-r} $$ Con las evidentes desigualdades $\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^r≤\left(1+\frac{1}{n}\right)^r$ y $\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n-1-r}≥\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n-1-r}$ obtenemos: $$ \left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n-1}=\frac{1}{n}\sum_{r=0}^{n-1}\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^r\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n-1-r}≤-v_n\\ ≤\frac{1}{n}\sum_{r=0}^{n-1}\left(1+\frac{1}{n}\right)^r\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n-1-r}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n-1} $$ Tanto en la parte superior y el límite inferior de $-v_n$ convergen a $e$, así que por el teorema del sándwich, $v_n$ converge a $-e$. Por lo tanto: $$ \lim_{n\to\infty}T_n=\lim_{n\to\infty}u_n+v_n=\lim_{n\to\infty}u_n+\lim_{n\to\infty}v_n=e-e=0 $$ Esto completa la respuesta de la Marca Bennet con suficiente precisión, y podemos concluir que el límite de hecho es de $e$.

Answer 5

Como $n$ tiende a $\infty$, la segunda secuencia se comporta como una recta con pendiente $e$: $$ \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n} = (n+1)\underbrace{\left( 1 + \frac{1}{n}\right)^n}_{\approx\ e} \approx en + e. $$ Cuando usted toma la diferencia entre los puntos de una línea, se obtiene la pendiente, en este caso, $e$.