Cuál es la suma de todos los enteros Impares positivos menores que $1000$ ?

Question

Si la suma de todos los enteros positivos pares menores que $1000$ es $ A $ ¿Cuál es la suma de todos los enteros Impares positivos menores que $1000$ ?

Answer 1

\begin{align} \underbrace{1}_{0+1}+\underbrace{3}_{2+1}+5+\cdots+\underbrace{999}_{998+1}&=\underbrace{(0+1)+(2+1)+\cdots+(998+1)}_{\text{500 terms}}=\\ &=\underbrace{0+2+4+\cdots+998}_{A}+\underbrace{1+1+\cdots+1}_{500 \text{ ones}}=A+500 \end{align}

Answer 2

Si la suma de todos los números pares es $A$ entonces $2+4+\ldots+998=A$ . Restando $1$ de cada uno de ellos da $1+3+\ldots+997=A-499$ y añadiendo $999$ a que da $A+500$ .

Answer 3

$$2+4+6+\ldots+994+996+998=A\ \ \ \ \ /-499$$ $$(2-1)+(4-1)+(6-1)+\ldots+(994-1)+(996-1)+(998-1)=A-499 /\mbox{substracting in brackets}$$ $$1+3+5+\ldots+993+995+997=A-499\ \ \ \ \ /+999$$ $$1+3+5+\ldots+993+995+997+999=A+500.$$ Por tanto, si la suma de todos los enteros positivos pares es menor que $1000$ es $A$ , entonces la suma de todos los enteros Impares menores que $1000$ es $A+500$ .

Answer 4

Busca esta suma:

$$\sum_{k=0}^{499}{(2k+1)}=2\sum_{k=0}^{499}k+499=2\frac{499\times 500}{2}+499=500^2$$

Answer 5

$$\begin{align*}\color{green}{1}+\color{blue}{3}+\color{red}{5}+\ldots+\color{red}{995}+\color{blue}{997}+\color{green}{999}&=\color{green}{(1+999)}+\color{blue}{(3+997)}+\color{red}{(5+995)}+\ldots+\color{magenta}{(499+501)}=\\&=250\cdot{1\,000}={250\,000}\color{grey}{=500^2}\end{align*}$$

En el penúltimo paso, utilizamos que hay $250$ números Impares positivos inferiores a $500$ .