Soluciones de la ecuación cuántica de Yang-Baxter

Question

Estoy interesado en encontrar soluciones no constantes a la siguiente ecuación de Yang Baxter

$$R_{12}(x/y) R_{13}(x/z) R_{23}(y/z) = R_{23}(y/z) R_{13}(x/z) R_{12}(x/y)$$

donde $R(x)$ es un endomorfismo de $V\otimes V$ . Personalmente me interesa encontrar soluciones explícitas en el caso de que $V$ es de dimensión 2.

Me gustaría saber qué familias de soluciones se conocen. Por ejemplo, hay un ejemplo al final del capítulo 12 de Chari y Pressley relacionado con la afinidad cuántica sl2. Preferiría que las respuestas fueran lo más explícitas posible (por ejemplo, escribiendo $R$ como la matriz 4x4) y un poco de contexto en cuanto a su procedencia.

Answer 1

La teoría general (debida a Jimbo) es que cada representación irreducible de dimensión finita del álgebra envolvente cuantificada de un álgebra de Kac-Moody (no de tipo finito) da una matriz R trigonométrica. Hay información sustancial sobre estas representaciones, pero las matrices R no son explícitas. Hay un caso especial que es explícito y viene dado por el método del método del "producto tensorial gráfico" (elaborado por Niall MacKay y Gustav Delius).

Utilicé esto en mi trabajo: Las matrices R y el cuadrado mágico. J. Phys. A, 36(7):1947-1959, 2003. y puedes encontrar las referencias allí.

Si quiere ir más allá de este caso especial y ser explícito, puede utilizar "cableado", también conocido como "fusión".

Los únicos trabajos que tratan de las matrices R que no están cubiertos por el método del producto tensorial del gráfico que conozco son

Vyjayanthi Chari y Andrew Pressley. Representaciones fundamentales of Yangians and singularities of R-matrices. J. Reine Angew. Math, 417:87–128, 1991.

G'abor Tak'acs. La matriz R del álgebra Uq(d(3)4 ) y g(1)2 afín Toda. Nuclear Phys. B, 501(3):711-727, 1997.

Bruce W. Westbury. Una matriz R para D(3) 4 . J. Phys. A, 38(2):L31-L34, 2005

Deepak Parashar, Bruce W. Westbury Matrices R para las representaciones adjuntas de Uq(so(n)) arXiv:0906.3419

El artículo de Chari y Pressley trata de las matrices R racionales. El último preimpreso era un intento incompleto de tratar de encontrar los análogos trigonométricos de estas matrices R.

Answer 2

La forma de la ecuación de Yang Baxter que estás estudiando se desarrolló en gran medida en el contexto de los modos de celosía solubles en mecánica estadística. Allí la matriz R se utiliza para construir una función de transición en un determinado sistema estadístico. Al menos en algunos casos, la matriz R procedente de la mecánica estadística coincide con la matriz R procedente de un álgebra afín cuántica. El ejemplo estándar es la relación entre el "modelo de seis vértices" y $U_q(\widehat{sl}_2)$ . Una buena referencia es el libro de Jimbo y Miwa "algebraic analysis of solvable lattice models" ( revisión de mathscinet ). Al menos para la matriz R procedente de $U_q(\widehat{sl}_2)$ pero sí dan fórmulas explícitas. Por desgracia, no conozco una buena referencia en línea.

Answer 3

Quizás debería señalar el artículo de Hietarinta "Solving the two-dimensional constant quantum Yang--Baxter equation", que se puede encontrar en la web. Allí clasifica completamente las soluciones constantes en 2 dimensiones. Por supuesto, esto no es exactamente lo que necesitas (ya que en su documento no hay parámetros espectrales), pero aún así tal vez sea útil para algo.

Answer 4

Creo que se trata de un problema muy bien entendido; puede ser útil que sepas (que puede que ya lo sepas?) que las ecuaciones de Yang-Baxter con un parámetro como ese se conocen como "QYBE con parámetro espectral". Pues esa frase suele referirse a la versión aditiva de lo que has escrito con argumentos (a-b), (a-c) y (b-c) respectivamente.

Lo que te interesa se llama "QYBE con parámetro espectral multiplicativo", también llamado "QYBE trigonométrico" (porque tus x,y,z pueden expresarse como e^a, e^b, y e^c de la situación aditiva; es sólo una convención de nombres).

Un artículo sobre las construcciones está aquí (pero teniendo esas palabras clave encontrarás muchos artículos en línea):

http://www.google.com/url?sa=t&source=web&ct=res&cd=4&ved=0CBkQFjAD&url=http%3A%2F%2Fwww.ma.utexas.edu%2Fmp_arc%2Fc%2F94%2F94-127.ps.gz&ei=gET7StLOLdDdlAfcsPW5Aw&usg=AFQjCNEP59Q-x84lijdXHJkV95Oxgei3Cg&sig2=8JebQcUBnWYKgQPfgO0hVw .

No soy un experto ni mucho menos, pero espero que las palabras clave y el enlace que he proporcionado puedan ayudar a tu búsqueda. Si te interesan las soluciones en las que V es bidimensional, entonces creo que todas las que obtengas de las álgebras de Lie afines cuánticas van a venir, como has dicho de la sl_2 afín.

¿Eres capaz de descifrar de Chari y Pressley la forma explícita de la matriz R en el caso cuántico afín sl_2 que te interesa?

Para QYBE constante hay un teorema (que para sl2) se puede demostrar más o menos a mano, que si se requiere que la matriz R sea Hecke (es decir, que tenga sólo dos valores propios que se pueden normalizar para que sean q, -q^{-1}) entonces la única matriz R que se puede encontrar es la matriz R para sl2 cuántica (no afín ya que no hay parámetros). Supongo que el contexto que motiva tu búsqueda impone alguna restricción al QYBEwMSP que quieres encontrar, de modo que las matrices R de sl_2 cuántica afín son los únicos ejemplos. Pero sólo estoy adivinando tus motivos cuando digo esto.

Answer 5

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