Teorema sobre la densidad natural

Question

En esta respuesta a una pregunta acerca de una serie, un teorema decía:

si $A= \{a_i \}$ es un conjunto tal que $\sum_{i = 1}^{\infty} \frac{1}{a_i}$ converge, entonces $d(A) = 0$ donde $d(A)$ es el natural de la densidad del conjunto.

Mi formación en teoría de números es básicamente cero y todos mis intentos para probar esto ha sido absolutamente unseccessful; ¿podría alguien por favor me ayude, o al menos darme una sugerencia para demostrarlo?

Answer 1

Si el natural de la densidad de $A = \{a_i\}$ existe, entonces podemos demostrar que es debe ser cero.

Deje $\displaystyle S_{n} = \frac{|A \cup [1,n]|}{n}$

Ahora $\displaystyle \{\frac{n}{a_n}\}$ es una larga de $S_{n}$, por lo que si el límite es $\displaystyle 2\delta > 0 $ entonces tenemos que para todos los $\displaystyle n > N_0$, $\displaystyle \frac{n}{a_n} > \delta$ y por lo $\displaystyle \frac{1}{a_n} > \frac{\delta}{n}$ todos los $\displaystyle n > N_0$ $\displaystyle \sum \frac{1}{a_n}$ diverge.

El principal problema es la realidad muestra que el límite existe.

Es fácil mostrar que $\liminf$ cero: Si el límite se $\displaystyle 2\delta > 0$ a continuación, para todos $n > N_{0}$, $S_{n} > \delta$ y un argumento similar al anterior funciona.

Ahora supongamos $\displaystyle \limsup S_n = 2\delta > 0$. Luego hay una larga $\displaystyle S_{N_1}, S_{N_2}, ..., S_{N_k}, \dots $ que converge a $\displaystyle 2\delta$.

Ahora podemos elegir la larga, de modo que $\displaystyle S_{N_i} > \delta$ $\displaystyle N_{k+1} > \frac{2N_{k}}{\delta}$

Ahora el número de elementos de a $\displaystyle A$ en el intervalo de $\displaystyle (N_{k}, N_{k+1}]$ es al menos $\displaystyle \delta N_{k+1} - N_k \ge \delta N_{k+1} - \frac{\delta N_{k+1}}{2} \ge \frac{\delta N_{k+1}}{2}$, por lo que la suma de los recíprocos en que intervalo es al menos $\displaystyle \frac{\delta N_{k+1}}{2} \frac{1}{N_{k+1}} = \displaystyle \frac{\delta}{2}$

Y por lo que la suma de los recíprocos divergentes.

Por lo tanto $\displaystyle \limsup S_n = 0 = \liminf S_n$ e lo $\displaystyle \lim S_n = 0$ y por lo tanto el natural de la densidad es igual a cero.

Answer 2

EDICIÓN n ° 2: por Favor, olvídate de esta respuesta; como se señaló en los comentarios, no era correcto! (Me he quitado el texto aquí; véase el historial de edición para el bochornoso detalles. La próxima vez, voy a tratar de pensar correctamente antes de empezar a publicar...)

Answer 3

Dado un conjunto $A = (\cup a_i) \subset N$ positivos lim sup densidad, es posible partición de $N$ en los intervalos en que $A$ tiene una densidad de $\geq d$. Si los intervalos de crecer en tamaño a un tipo apropiado (para este problema, el crecimiento exponencial es suficiente), habrá un número positivo $C>0$ de manera tal que en cada intervalo, $\Sigma_{a \in A} 1/a \geq C$, y esto hace que la suma de todos los intervalos infinitos.

En más detalle,

1. Hay una partición de los enteros positivos en intervalos de $[1,n_1], [n_1 + 1, n_2], [n_2 + 1,n_3], \dots$ tal que la densidad de $A$ al menos $d > 0$ en cada intervalo. Esto puede ser hecho por cualquier $d < L$ donde $L$ es el lim sup densidad de $A$.

2. Por la unión de intervalos adyacentes, también se puede exigir que la secuencia de $n_k$ crece lo suficientemente rápido que la densidad en $[1,n_i]$ no está fuertemente afectada por lo que sucede en los anteriores intervalos de $[1,n_j]$$j < i$. En particular, uno puede mantener o eliminar el subinterval $[1,n_{i-1}]$ con pequeño efecto sobre la densidad preguntas en $[1,n_i]$. Para este problema, lo suficientemente rápido crecimiento significa estrictamente crecimiento exponencial, es decir, $n_{i+1} / n_i > p $ constante $p > 1$.

3. El más eficiente de embalaje de un número determinado de números enteros en un intervalo de $[m,n]$ (donde la eficiencia significa minimim suma de $1/a$ $a$ van sobre el subconjunto) es colocar todo subconjunto tan cerca como sea posible a $n$. Si la densidad es por lo menos $d$, el número de enteros para ser colocado es, al menos,$d(n-m+1)$, y, a continuación, $\Sigma 1/a$ al menos $d(n-m)/n = d(1-m/n)$.

4. Para el crecimiento exponencial de los intervalos de con $m/n < 1/p$ la suma en cada intervalo de la partición de $N$ está acotado abajo por $C=d(1-1/p) > 0$, por lo que la suma de todos los $1/a_i$ es infinito.