Dejemos que $T:H_1\rightarrow H_2$ sea un operador lineal acotado donde $H_1$ y $H_2$ son espacios de Hilbert. El Hilbert-adjunto se define al operador $T^*:H_2\rightarrow H_1$ tal que $\langle Tx,y\rangle_{H_2}=\langle x,T^*y\rangle_{H_1}$ para todos $x\in H_1$ y $y\in H_2$ . Se puede demostrar que $\ker T^*=\left(\operatorname{im}\, T\right)^\perp$ y $\left(\ker T^*\right)^\perp=\overline{\operatorname{im}\, T}$ (véase, por ejemplo, aquí ). De ello se desprende que $$T \text{ surjective} \Rightarrow \operatorname{im}\, T = H_2 \Rightarrow \ker T^* = H_2^\perp = \{0\}\Rightarrow T^* \text{ injective}$$ En el caso de las dimensiones finitas, tenemos que $$T \text{ surjective} \iff T^* \text{ injective}$$ En el caso general de infinitas dimensiones, ¿se cumple la misma afirmación, o existe un contraejemplo en el que $T^*$ es inyectiva pero $T$ no es sobreyectiva?
Respuesta
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El principal problema, en esas cosas, es que los operadores lineales en espacios de dimensión infinita no tienen por qué tener imagen cerrada. Así que incluso si $T^\star$ es inyectiva, lo que significa que $\ker T^\star=\{0\}$ sólo podemos deducir que $\overline{\text{im}\ T}=H_2$ que no es necesariamente lo mismo que $\text{im}\ T=H_2$ .
Por ejemplo, consideremos el operador $$T\colon \ell^2\to \ell^2,\qquad T\mathbf{x}=\left(x_1, \frac{x_2}{2}, \frac{x_3}{3}\ldots \right).$$ Este operador es autoadjunto, por lo que $T^\star=T$ y no es sobreyectiva aunque sea inyectiva.
