Evaluación del límite de $\sqrt[2]{2+\sqrt[3]{2+\sqrt[4]{2+\cdots+\sqrt[n]{2}}}}$ cuando $n\to\infty$

Question

El siguiente radical anidado $$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}$$ se sabe que converge a $2$ .

Podemos considerar un radical anidado similar en el que el grado de los radicales aumenta:

$$\sqrt[2]{2+\sqrt[3]{2+\sqrt[4]{2+\cdots+\sqrt[n]{2}}}}$$ que converge a una constante $C=1.8695973...$ . ¿Existe una expresión de forma cerrada para este límite?

Answer 1

Esto es sólo una respuesta parcial o un comentario demasiado largo. Por favor, lea el descargo de responsabilidad al final.
De un punto de vista informático Esta pregunta está relacionada con al menos otras tres:

• Problema 6 - OMI 1985
• Cómo encontrar este límite: $A=\lim_{n\to \infty}\sqrt{1+\sqrt{\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{3}+\cdots+\sqrt{\frac{1}{n}}}}}$
• Encontrar el límite $L=\lim_{n\to \infty} \sqrt{\frac{1}{2}+\sqrt[3]{\frac{1}{3}+\cdots+\sqrt[n]{\frac{1}{n}}}}$

El denominador común es que, para que una numérico cálculo para ser estable , recursividad hacia atrás es preferible. Para el problema que nos ocupa, esta recursión hacia atrás es la siguiente: $$ a_{n-1} = \sqrt[n]{2+a_n} \qquad \mbox{with} \quad \lim_{n\to\infty} a_n = 1 $$ Esta última condición significa en la práctica que para valores suficientemente grandes de $\;n\;$ el arranque (o más bien finalizando ) para $a_n$ puede ser igual a $1 \approx \sqrt[n]{3}$ .
Se puede obtener una estimación de los errores (actualización) por diferenciación: $$ d a_{n-1} = d \sqrt[n]{2+a_n} = d a_n \frac{1}{n} \left(2+a_n\right)^{1/n-1} = \frac{a_{n-1}}{n(2+a_n)}da_n $$ empezando por $\:da_n = \sqrt[n]{3} - 1\:$ para un valor suficientemente grande de $n$ en nuestro caso $n = 13$ . Se observa que el error en $\;a_1\;$ también puede calcularse (más o menos) mediante recursión hacia atrás. Y se puede conjeturar que algún límite superior razonable debe ser como $\,1/(2^n.n!)$ lo que significa que la convergencia es muy rápida.
El programa Delphi Pascal adjunto es una consecuencia lógica de las consideraciones anteriores.

program apart;  
function power(x,r : double) : double;
begin
  power := exp(r\*ln(x));
end;  
procedure anatoly(x : double; n : integer);
var
  a,d,b : double;
  k : integer;
begin
  a := power(x+1,1/n);
  d := a-1; { error }
  a := 1;
  for k := n downto 2 do
  begin
    b := a;
    a := power(x+a,1/k);
    d := d\*a/(x+b)/k;
  end;
  Writeln(x,' ',a,' +/-',d);
end;  
begin
  anatoly(2,13); { at double precision }
end.
El resultado está, por supuesto, en concordancia con el valor ya encontrado por el OP: $$ 1.86959730667536 $$ Cabe señalar que, en principio, la recursividad hacia delante también puede emplearse, pero de una manera muy diferente, ya que, como también han mencionado otros, es _muy inestable_ .  

Descargo de responsabilidad: Sin duda habría probado el forma cerrada - sea lo que sea que eso signifique en los tiempos modernos - si tan sólo pudiera creer que tal cosa existe realmente aquí. Si a pesar de todo esta respuesta aclara algunas cuestiones, estaría bien.

BONO. Pero la frase "forma cerrada" sigue sonando en la cabeza de todos ..
Como se sugiere en un comentario por Semiclásico, haciendo una gráfica de la siguiente función más general $f(x)$ podría ser interesante. $$ f(x) = \lim_{n\to \infty}\sqrt[2]{x+\sqrt[3]{x+\sqrt[4]{x+\cdots+\sqrt[n]{x}}}} $$ Porque, si la gráfica de esa función pudiera reconocerse como perteneciente a alguna función "elemental", digamos $g(x)$ entonces podríamos decir que el resultado de la pregunta del OP es simplemente $g(2)$ .
Así que aquí va, para $\;0 < x < 4\;$ y $\;0 < y < 4\;$ :

Se conjetura que $f(0) = 0$ y que existe una singularidad ( salto $0\to 1$ ) en ese lugar.

Answer 2

Como ya han mencionado otros, no se conoce ninguna forma cerrada para esta expresión (como la mayoría de los radicales anidados infinitos).

Yo consideraría algunos límites para este número, que dan aproximaciones bastante buenas.

En primer lugar, en lugar de truncar el número, es mucho mejor sustituir el resto por $1$ en cualquier paso, por ejemplo:

$$\sqrt{2+\sqrt[3]{2+\sqrt[4]{2+\cdots}}}>\sqrt{2+\sqrt[3]{2+\sqrt[4]{2+1}}}=1.8684804$$

Para el límite superior podemos utilizar la aproximación:

$$\sqrt{2+\sqrt[3]{2+\sqrt[4]{2+\cdots}}}<\sqrt{2+\sqrt[3]{2+\sqrt[3]{2+\cdots}}}$$

Para encontrar $\sqrt[3]{2+\sqrt[3]{2+\cdots}}$ utilizamos la ecuación:

$$x^3-x-2=0$$

$$x=\frac{1}{3} \left(\sqrt[3]{27-3\sqrt{78}}+\sqrt[3]{27+3\sqrt{78}} \right)=1.5213797$$

$$\sqrt{2+\sqrt[3]{2+\sqrt[4]{2+\cdots}}}<\sqrt{2+1.5213797}=1.876534$$

Para un mejor límite superior encontramos:

$$\sqrt[4]{2+\sqrt[4]{2+\cdots}}=\frac{1}{3} \left(1-2\sqrt[3]{\frac{2}{47+3 \sqrt{249}}}+\sqrt[3]{\frac{47+3 \sqrt{249}}{2}} \right)=1.3532099$$

$$\sqrt{2+\sqrt[3]{2+\sqrt[4]{2+\cdots}}}<\sqrt{2+\sqrt[3]{2+1.3532099}}=1.8699639$$

Por lo tanto, tenemos, en esta etapa:

$$1.8685<\sqrt{2+\sqrt[3]{2+\sqrt[4]{2+\cdots}}}<1.8700$$

Obtenemos el valor con una incertidumbre inferior a $0.1 \%$ en sólo un par de pasos.

No obtendremos una forma cerrada de esta manera, pero esto es mucho más preciso, que simplemente truncar el radical anidado.

Answer 3

Sólo una pista.

Tenemos la recursión $$b_n^n=2+b_{n+1} \qquad \mbox{with} \quad \lim_{n\to\infty} b_n = 1 \tag{1} $$ Estamos interesados en $b_2 \approx 1.8695973$ (mi $b_n=a_{n-1}$ en la respuesta de Han de Bruijn).

Probemos $$b_n=1 + \frac{d_1}{n}+ \frac{d_2}{2! \,n^2}+\cdots \tag{2}$$

Considere que si $g(x)=1 + d_1 x + d_2 \, x^2/2 +\cdots$ en torno a $x=0$ entonces $$h(x)=g(x)^{1/x}=e^{d_1}+e^{d_1}\frac{(d_2 -d_1^2)}{2}x+\cdots \tag{3}$$

Además, la sustitución de $b_n = g(1/x)$ en $(1)$ obtenemos

$$ g(x)^{1/x}=2+g\left(\frac{x}{1+x}\right) \tag{4}$$

Sustituyendo, podemos obtener los primeros coeficientes:

$$d_1=\log(3)=1.09861228866811$$ $$d_2=\frac{2}{3}\log(3)+\log^2(3)=1.939357153257989$$ Y

$$ b_n=1 + \log(3)\frac{1}{n}+ \log(3) \left(\frac{1}{3}+\frac{\log(3)}{2}\right) \frac{1}{n^2}+O\left(\frac{1}{n^3}\right)$$ Enchufe esto en $(2)$ sigue sin ser bueno para la informática $b_2$ directamente ( $\approx 4\%$ error relativo) pero es un buen punto de partida para la recursión hacia atrás $(1)$ . Por ejemplo, a partir de $n=5$ el error relativo para $b_2$ (sólo tres iteraciones) es la siguiente $10^{-5}$ a partir de $n=9$ el error se sitúa en torno a $2 \cdot 10^{-11}$

Obviamente, podrían obtenerse términos de orden superior para la expansión de Taylor en $(3)$ pero no creo que podamos obtener una forma cerrada simple para el término general.

Answer 4

Una de las fórmulas más conocidas del matemático indio Ramanujan es ésta: $$f(x)=x+1=\sqrt { \left( x+1 \right) ^{2}}=\sqrt {1+{x}^{2}+2\,x}=\sqrt {1+x\sqrt {(x+2)^2}}$$ $$=\sqrt {1+x\sqrt {1+{x}^{2}+4\,x+3}}=\sqrt {1+x\sqrt {1+ \left( x+1 \right) \sqrt {(x+3)^2}}}$$ $$ =\sqrt {1+x\sqrt {1+ \left( x+1 \right) \sqrt {1+ \left( x+2 \right) \sqrt {1+ \left( x+3 \right) \sqrt {1+ \left( x+4 \right) \sqrt {\cdots}}}}}} $$ Así que es interesante mostrar que por qué su límite mencionado tiende a $f(0.86959730667536)$ ?