En Pitt teorema de

Question

El famoso Pitt teorema afirma que si $p>q$, a continuación, cada una delimitada operador $T\colon \ell^p\to\ell^q$ es compacto. Desde $\ell^p$ $\ell^q$ son incomparables ($p\neq q$, $p,q\geq 1$), cada operador $T\colon \ell^p\to\ell^q$ es estrictamente singular de todos modos.

Ahora quiero preguntar acerca de $L^p(\mu)$ (poner cualquier supuestos en $\mu$ como desee). Bajo qué condiciones en $p$ $q$ cada débilmente compacto operador $T\colon L^p(\mu)\to L^q(\mu)$ es compacto?

Answer 1

(Haciendo que mis comentarios en una respuesta, como por Yemon la sugerencia).

En el caso de que $\mu$ es puramente atómica es esencialmente el único caso en que una de Pitt-tipo de teorema vale para los operadores de $L_p(\mu)\longrightarrow L_q(\mu)$ donde $1\leq q,p<\infty$. De hecho, vamos a considerar la posibilidad de, digamos, en el caso de que $\mu$ es la medida de Lebesgue en $[0,1]$ (todos los demás no puramente atómica de los casos se deben reducir a este). Por las afirmaciones de Yemon el primer comentario, se quiere mostrar que hay una noncompact operador $L_p(\mu)\longrightarrow L_q(\mu)$. Para ello sugiero usar el hecho de que para $1\leq r<\infty$ cerrado lineal hull $R_r$ $L_r(\mu)$ de la secuencia de funciones de Rademacher en $[0,1]$ es isomorfo a $\ell_2$, e $R_r$, se complementa en $L_r(\mu)$ si y sólo si $1<r<\infty$ (una buena referencia para este resultado es Albiac y Kalton el libro de Temas en el espacio de Banach de la teoría; allí se explica como la Proposición 6.4.2). El tiempo para tratar los casos de $p=1$ $p>1$ por separado ya ha llegado.

Para $p=1$, dejamos $X$ ser un subespacio complementado de $L_1(\mu)$ isomorfo a $\ell_1$ y deje $P$ ser una proyección de $L_1(\mu)$ a $X$. Ya que cada separable espacio de Banach es el rango de un operador lineal continuo de $\ell_1$, existe un surjective operador $T:X \longrightarrow L_q(\mu)$. El mapa de $x\mapsto T(Px)$ es un surjective (de ahí noncompact) lineal operador de $L_1(\mu)$ a $L_q(\mu)$.

Para $p>1$, vamos a $Q$ ser una proyección de $L_p(\mu)$ a $R_p$ y deje $U: R_p\longrightarrow$ ser isomorfo incrustación en $R_q$. El mapa de $x\mapsto U(Qx)$ es un operador lineal de $L_p(\mu)$ sobre el infinito dimensional cerrado subespacio $R_q$$L_q(\mu)$; este operador es, en particular, noncompact.