Pregunta en Hatcher

Question

Ejercicio 0.21 de Hatcher Topología Algebraica se lee:

Si $X$ está conectado a un espacio de Hausdorff, que es la unión de un número finito de $2$-esferas, dos de los cuales se intersecan en un punto, muestran que $X$ es homotopy equivalente a una cuña suma de $S^1$'s y $S^2$'s.

Creo que se me ocurrió una solución a esto, pero en ninguna parte yo uso el supuesto de que la "Hausdorff". Es esto realmente una hipótesis necesaria? Donde tendría que utilizar el $T_2$ condición en una prueba como esta? Parece que una unión de $2$-esferas tendría que ser Hausdorff . . .

Lo que me estoy perdiendo?

Answer 1

Considerar la inconexión de la unión de $X = S^2 \coprod S^2$ de dos 2-esferas, topologized para que en cada barrio de $p$ en la primera esfera contiene $q$ en la segunda esfera, y viceversa. (Hemos "pegado $p$$q$", pero poniendo infinitesimalmente cerca juntos, en lugar de identificarlas como tendríamos que si quería quedarse Hausdorff.) Este espacio está conectado y es la unión de dos 2-esferas, que se reúnen en más de un punto (ya que se encuentran en cero puntos).

En este caso me imagino que el mapa de $X$ $S^2 \vee S^2$es en realidad un homotopy la equivalencia puede definir un candidato a la inversa tomando la primera esfera a $S^2$ (enviando el punto de base para $p$) y tomando la segunda esfera de menos el punto de base para $S^2 - q$ (tenga en cuenta que esto realmente es continua). Sin embargo, no proporcionan un ejemplo de cómo nuestra intuición puede ir mal si se nos permite a los no-espacios de Hausdorff.