¿Cómo puedo encontrar limitaciones en la Nambu-Goto Acción?

Question

Deje $X^\mu (t,\sigma ^1,\ldots ,\sigma ^p)$ $p$- branas en el espacio-tiempo y deje $g$ ser la métrica en la $X^\mu$ inducida desde el ambiente de tiempo de espacio métrico. Entonces, la Nambu-Goto acción en $X^\mu$ se define como $$ S:=-T\int dt\, d\sigma \sqrt{-\det (g)}. $$ (Usamos la convención de espacio-tiempo de la firma de $(-,+,+,+)$.

Tratemos de calcular el Hamiltoniano para esta teoría. El primer paso es calcular el conjugado momenta: $$ P_\mu :=\frac{\partial L}{\partial (\partial _tX^\mu)}, $$ donde, por supuesto $L:=-T\sqrt{-\det (g)}$. Resulta que usted no puede invertir este mapa para escribir $\partial _tX^\mu$ como una función de $X^\mu$, $P^\mu$, y $\partial _{\sigma ^i}X^\mu$, lo que significa que la imagen de la transformación de Legendre $(X^\mu ,\partial _{\sigma ^i}X^\mu ,\partial _tX^\mu )\mapsto \left( X^\mu ,\partial _{\sigma ^i}X^\mu ,\frac{\partial L}{\partial (\partial _tX^\mu )}\right)$ no es surjective, pero en su lugar la imagen de este mapa es una sub-colector (por supuesto, en general, la imagen de un colector bajo una suave mapa no será, en general, un colector, pero en nuestro caso particular, que no debería ser un problema) de $T^pT^*M$, y así (localmente de todos modos) será especificado por $N$ restricciones de $\phi _j(X,\partial _{\sigma ^i}X,P)=0$ donde $N$ es la dimensión del núcleo de la derivada de la Ledgendre transformación.

En el caso de la Nambu-Goto Lagrange, me he encontrado con que $N=1+p$. He encontrado esto por el cálculo de la multiplicidad de $0$ como un autovalor de a $\frac{\partial ^2L}{\partial (\partial _tX^\mu )\partial (\partial _tX^\nu )}$. La pregunta es: ahora que sé cuántos hay restricciones debe ser, ¿cómo puedo sistemáticamente encontrar lo que esas restricciones son en realidad?

Para lo que vale, sé que una restricción es $$ P^2+T^2\det (k)=0, $$ donde $k$ (he suprimido la dependencia del tiempo de $k(t)$ en la notación) es la métrica del espacio-como sub-colector $X_t^\mu (\sigma ^1,\ldots ,\sigma ^p):=X^\mu (t,\sigma ^1,\ldots ,\sigma ^p)$ inducida a partir de la métrica $g$$X^\mu$, y que el otro $p$ restricciones $$ \partial _{\sigma ^i}X\cdot P=0, $$ para $1\leq i\leq p$. Incluso sé cómo comprobar que estas son en realidad las restricciones. Lo que no sé, sin embargo, es cómo estas limitaciones sin simplemente tirando de ellos fuera de mi culo.

Hay una sistemática, sin embargo, computacionalmente factible manera de determinar lo que estos $1+p$ restricciones deben ser?

Además, tengo una corazonada de que cada una de estas restricciones surge de un correspondiente re-parametrización de la invariancia, así que si ese es el caso, sería maravilloso si alguien pudiera aclarar esta conexión para mí. (Hay una reparametrización invaraince-$\Rightarrow$-restricción teorema análogo del Teorema de Noether para simetrías y cantidades conservadas?)

Answer 1

Me las arreglé para encontrar casi de forma sistemática para hacer esto. La idea que me ha permitido hacer esta fue inspirado por el Teorema de Noether.

Reparametrización invariancia es una simetría del sistema, una simetría mucho más fuerte que un simple global de simetría. Del mismo modo, sin embargo, una restricción es también una cantidad conservada, pero es algo mucho más fuerte que eso. A sabiendas de que existía alguna relación entre los dos, yo sospechaba que podría ser una manera de derivar restricciones re-parametrización de la invariancia de una manera similar que el Teorema de Noether permite derivar conservado cantidades a partir de una simetría. Por lo tanto, me las arreglé para hackear una modificación de la'proof' de el Teorema de Noether, que me permitió calcular las restricciones. Desafortunadamente, sin embargo, poner las restricciones enteramente en términos de $X$, $\partial _{\sigma ^i}X$, y $P$ no estaba completamente sistemática, pero aún así era mucho más sencillo que simplemente venir para arriba con las limitaciones del aire. De todos modos, aquí está lo que hice. Por simplicidad, sólo se abordó el caso de la cadena ($p=1$).

Para la elaboración del mapeo de la cadena de $X\mapsto X'$ que depende de un parámetro $\varepsilon$, me abreviar $\frac{d}{d\varepsilon}\big| _{\varepsilon =0}$$\delta$. Esta notación es común entre los físicos, pero a menudo no mencionan exaclty lo que significan. En virtud de tal transformación de la cadena de sola, he \begin{align*} \delta L & =\frac{\partial L}{\partial X}\cdot \delta X+\frac{\partial L}{\partial (\partial _tX)}\cdot \delta (\partial _tX)+\frac{\partial L}{\partial (\partial _\sigma X)}\cdot \delta (\partial _\sigma X) \\ & =\frac{\partial}{\partial t}\left[ \frac{\partial L}{\partial (\partial _tX)}\right] \cdot \delta X+\frac{\partial L}{\partial (\partial _tX)}\cdot \delta (\partial _tX)+\frac{\partial}{\partial \sigma}\left[ \frac{\partial L}{\partial (\partial _\sigma X)}\right] \cdot \delta X \\ & +\frac{\partial L}{\partial (\partial _\sigma X)}\cdot \delta (\partial _\sigma X) \\ & =\frac{\partial}{\partial t}\left[ \frac{\partial L}{\partial (\partial _tX)}\cdot \delta X\right] +\frac{\partial}{\partial \sigma}\left[ \frac{\partial L}{\partial (\partial _\sigma X)}\cdot \delta X\right] . \end{align*} Tenga en cuenta que he asumido que los derivados conmuta con la transformación (es decir,$\delta (\partial _tX)=\partial _t(\delta X)$$\delta (\partial _\sigma X)=\partial _\sigma (\delta X)$). En el caso de nuestra re-parametrización de la invariancia, este resulta ser el caso, a pesar de que yo tenía que comprobarlo y no veo ninguna razón por qué esto debería ser cierto en general (aunque sí señalan que si usted se de cuenta de la razón)).

Suponiendo que $\delta L$ es de la forma $\delta L=\partial _tf+\partial _\sigma g$, podemos volver a organizar esta ecuación para obtener la $$ \frac{\partial}{\partial t}\left[ \frac{\partial L}{\partial (\partial _tX)}\cdot \delta X-f\right]=\frac{\partial}{\partial \sigma}\left[ g-\frac{\partial L}{\partial (\partial _\sigma X)}\cdot \delta X\right] . $$ Por lo tanto, bajo el supuesto de que las funciones apropiadas desaparecer en el infinito, la integral sobre la $\sigma$ de la cantidad en el momento de derivados se conserva. Tenemos la sospecha de que esto podría ser una restricción. Esta es la motivación suficiente para que anote esa cantidad para ver si es de hecho una restricción (tenga en cuenta que la derivación se supone que sólo ser la motivación para comprobar, no se trata de una prueba).

En el caso de tiempo de re-parametrización $X(t)\mapsto X(t+\varepsilon \xi )$, $\delta X=\xi \dot{X}$ y $\delta L=\partial _t(\xi L)$ (el primero se puede ver de inmediato, el segundo tuve que sentarme y calcular). Por lo tanto, tenemos la sospecha de que $$ \xi \dot{X}\cdot P-\xi L=\text{const} $$ podría ser una restricción. De hecho, si se calcula $P$ y enchufarlo, hemos hecho ver que esta expresión se desvanece de forma idéntica. Así que, de hecho, es cierto que $$ \partial _tX\cdot P=-L. $$ Si usted hace lo mismo con $\sigma$ re-parametrización, encontrar $$ \partial _\sigma X\cdot P=0. $$ Tenga en cuenta que en este caso $\delta L$ $\sigma$ derivados, como opuesto a un tiempo de derivada como antes, de modo que no se muestran. Fantástico! La única cosa que queda es eliminar los molestos $\dot{X}$. Para ello, tenemos que calcular $P$.

Resulta que $$ P_\mu =\frac{T^2}{L}\left( (\partial _tX\cdot \partial _\sigma X)\partial _\sigma X_\mu-(\partial _\sigma X)^2\partial _tX_\mu \right) . $$ La idea es que podamos utilizar el tiempo de volver a la parametrización de la restricción para eliminar la $\partial _tX$ a partir de la expresión para $P$ contratantes $P$ con la misma: $$ P^2=\frac{T^2}{L}\left( (\partial _tX\cdot \partial _\sigma X)\partial _\sigma X\cdot P-(\partial _\sigma X)^2\partial _tX\cdot P\right) =-T^2(\partial _\sigma X)^2. $$

Et voila! No ser el buscado después de limitaciones!

Y ahora sigo adelante con mi vida . . .