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¿Por qué es $\mathbb{Z}[x]/(1-x,p)$ isomorfo a $\mathbb{Z_{p}}$ donde p es un primer entero

Quiero porqué $\mathbb{Z}[x]/(1-x,p)$ es isomorfo a $\mathbb{Z_{p}}$ donde p es un primer entero?

He aquí lo que tengo hasta ahora, pero no estoy seguro de si estoy en lo correcto. Cada $f\in \mathbb{Z}[x]$ puede ser escrito como $(1-x)q+ r$ donde$q\in \mathbb{Z}[x]$$r$$\mathbb{Z}$. Qué se desprende que no se $p$ cosets de $(1-x,p)$ ( es decir, 0+(1-x,p), 1+(1-x,p),2+(1-x,p), etc ..)

Que implicaría $\mathbb{Z}[x]/(1-x,p)$ es isomorfo a $\mathbb{Z_{p}}$

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Lorin Hochstein Puntos 11816

Básicamente, sí.

Es un poco más fácil si se consideran en los pasos, aunque. En primer lugar, considere la posibilidad de $\mathbb{Z}[x]/(p)$, que es isomorfo a $\mathbb{Z}_p[x]$; a continuación, considere la posibilidad de $\mathbb{Z}_p[x]/(1-x)$, que es isomorfo a $\mathbb{Z}_p$ por debajo del mapa "evaluar en 1" (o utilizando el algoritmo de la división, como más arriba).

O puedes hacerlo de la otra manera. Primero, considere el cociente $\mathbb{Z}[x]/(x-1)$, que es isomorfo a $\mathbb{Z}$ bajo evaluación en $x=1$; luego el mod por $(p)$.

(Lo que usted hace si usted va esta ruta es el uso de la homomorphism teoremas; el ideal de la $(p + (x-1))$ $\mathbb{Z}[x]/(x-1)$ corresponde al ideal de $(p,x-1)$$\mathbb{Z}[x]$, e $(R/I)/(J/I)\cong R/J$ donde $I$ $J$ son ideales de a$R$$I\subseteq J$).

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Arcturus Puntos 14366

Solo para agregar algo a las buenas respuestas que usted ya tiene. De hecho, este es un caso especial de una forma más general de la proposición. Se puede demostrar que todos los máximos ideales de la $\mathfrak{m}$ del polinomio anillo de $\mathbb{Z}[x]$ tiene la forma $\mathfrak{m} = (g(x), p)$ donde $p \in \mathbb{Z}$ es un número primo y $g(x) \in \mathbb{Z}[x]$ satisface que su reducción modulo $p$ es un elemento irreductible $\bar{g}(x)$ en el polinomio anillo de $\mathbb{Z}_{p}[x]$. Como consecuencia de esto se obtiene que el coeficiente de anillo de $ \mathbb{Z}[x] / \mathfrak{m} $, lo que en realidad es un campo desde $\mathfrak{m}$ es máxima, es finita algebraicas campo de la extensión de $\mathbb{Z}_p$.

Usted puede encontrar este teorema por ejemplo, como la proposición 1.5 en la página 22 de miles Reid del Pregrado Álgebra Conmutativa. Otro lugar donde usted puede desear mirar es la Sección II.4.3 en la página 84 de Eisenbud y Harris de La Geometría de los Esquemas, donde esto se discute más en general, en el contexto del primer espectro de $\text{Spec} \, \mathbb{Z}[x]$ y se puede ver una buena foto de él y de cómo sus "puntos" corresponden a los puntos en $\text{Spec} \, \mathbb{Z}$.

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David HAust Puntos 2696

LEMA $\rm\quad S\ :=\ R[x]/(x-a,b)\ \cong\ R/b\ \ $ $\rm\ a,b\in R\ $ cualquier anillo.

Prueba de $\ \ $ $\rm\:S\ $ tenemos $\rm\ x = a\ $ por lo tanto $\rm\ f(x) = f(a)\:.\ $ por lo Tanto la natural mapa de $\rm R $ a $\rm S$ a, con kernel $\rm K \supset b\:R\:.\ $ Si $\rm\ c\in K\ $ $\rm\ c = (x-a)\ f(x) + b\ g(x)\ \Rightarrow\ c\in b\:R\ \ $ través $\ $ eval $\: $ $\rm\ x = a\:.$ por lo Tanto $\rm\ \ \ K = b\:R\ \ $ $\rm\: \ S \cong R/K = R/b\:.$

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Antoine Benkemoun Puntos 5900

Definir un mapa de $\mathbb{Z}[x]\to \mathbb{Z}_p$ que envía a $f(x)$ a la clase de equivalencia de a $f(1)$ modulo $p$. Este es un homomorphism de los anillos. Desde entonces, todos los $f(x)$ puede ser escrito como $(x-1)q+r$ como lo hizo, este mapa es surjective (solo mira las imágenes de la constante de funciones $0,1,...,p-1$), y el kernel es, precisamente,$(x-1,p)$. Esto le da a la necesaria isomorfismo por el primer teorema de isomorfismo.

Contando cosets sólo te ofrece un resumen isomorfismo, mientras este le da una canónico.

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fastauntie Puntos 36

Recuerde que los campos finitos son isomorfos si y sólo si tienen el mismo número de elementos.

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