Algoritmos para "resolver" $\sqrt{2}$

Question

Las primeras palabras que salieron de mi boca necesitan ser esto... "Problemas" es el término adecuado ya que estoy hablando de los números irracionales. Yo no sé que palabra es la palabra correcta... Así que puede ser parte $1$ de mi pregunta... ¿cuál es la palabra correcta, ya que obviamente no puede "resolver" un número irracional, porque va para siempre.

Parte $2$ (mi pregunta real) existen algoritmos para averiguar la respuesta a un problema como la raíz cuadrada de $2$ otros de adivinar y comprobar su camino hasta el infinito? De nuevo, obviamente no soy pidiendo un algoritmo para darme la de nunca acabar respuesta, porque eso es una locura... pero por ejemplo si yo quería saber lo que el $15^{th}$ decimal de la raíz cuadrada de $2$, existe un algoritmo para que?

Gracias! (Soy nuevo aquí y no sé nada acerca de cómo dar formato a las preguntas de matemáticas por lo que cualquier ayuda o enlaces, se agradecería, gracias!)

Answer 1

Usted puede utilizar el método de newton para calcular los dígitos de $\sqrt{(2)}$:
Vamos a: $$f(x) = x^2 -2$$ Definir la iteración: $$x_0 = 1\\ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$ Esto va a converger a $\sqrt{2}$ cuadráticamente.

Si desea calcular las otras raíces cuadradas:

Considere la posibilidad de:
$$g(x) = x^2 - a$$


Que tiene la iterants: $$x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{a}{x_n}\right)$$ Como se menciona a continuación.

También hay lo que se llama la continuación de la fracción de expansión de un número algebraico. Usted puede utilizar un determinado continuó fracción de expansión.

Como un ejemplo: $$x_0 = 1 \\ x_1 = \frac{1}{2}\left(x_0 + \frac{2}{x_0}\right) =\frac{1}{2}\left( \large \textbf{1} + \frac{2}{ \large \mathbf{1}}\right) = \frac{3}{2}\\ x_2 = \frac{1}{2}\left(x_1 + \frac{2}{x_1}\right) = \frac{1}{2}\left( \large \mathbf{\frac{3}{2}} + \frac{2}{ \large \mathbf{\frac{3}{2}}}\right) \text{ etc. }$$

Agregó

Ya que estamos utilizando el método de Newton, y usted se está preguntando por qué converge a la raíz de $f(x)$,

Nota los siguientes:
$\textbf{Theorem}$: Supongamos que la función de $f$ tiene un cero en $\alpha$, es decir, $f(\alpha) = 0$

Si $f$ es continuamente diferenciable y su derivada es cero en $\alpha$, entonces existe un entorno de a $\alpha$ tal que para todo a partir de los valores de $x_0$ en ese barrio, la secuencia de ${x_n}$ convergerán a $\alpha$.

Así que si elegimos nuestra suposición de arranque de forma adecuada, el método de Newton siempre converge a la raíz de la ecuación si $f$ tiene estas propiedades .

Answer 2

Un problema relacionado. Otra manera de ir es la serie de Taylor. Se derivan de la serie de Taylor de la función $\sqrt{x}$ en el punto de $x=1$

$$\sqrt{x} = 1+{\frac {1}{2}} \left( x-1 \right) -{\frac {1}{8}} \left( x-1 \right) ^{2}+{\frac {1}{16}} \left( x-1 \right)^{3}-{\frac{5}{128} } \left( x-1 \right)^{4}+O\left( \left( x-1 \right) ^{5} \right).$$

Si conecta $x=2$, se obtiene un valor aproximado para la $\sqrt{2}\sim 1.398437500$. El aumento del número de términos en la serie mejora la aproximación.

Añadido: podemos escribir la serie de Taylor de $\sqrt{x}$ explícitamente por la búsqueda de la $n$th derivados de $\sqrt{x}$

$$\sqrt{x} = \sum _{n=0}^{\infty }\frac{\sqrt {\pi }}{2}\,{\frac {{a}^{\frac{1}{2}-n} \left( x-a\right)^{n}}{\Gamma\left( \frac{3}{2}-n \right)n! }}.$$

Sustituyendo $x=1$ en la fórmula anterior da la serie de Taylor en el punto de $x=1$

$$\sqrt{x} = \sum _{n=0}^{\infty }\frac{\sqrt {\pi }}{2}\,{\frac { \left( x-1\right)^{n}}{\Gamma\left( \frac{3}{2} - n \right)n! }}.$$

Poner a $x=2$ en la ecuación anterior, tenemos

$$\sqrt{2} = \sum _{n=0}^{\infty }\,{\frac {\sqrt{\pi}}{2\,\Gamma\left( \frac{3}{2} - n \right)n! }}.$$

Answer 3

También puede calcular raíces cuadradas mediante fracciones continuas. Por ejemplo, para $\sqrt{2}$ $$\sqrt{2}=1+(\sqrt{2}-1)=1+\frac{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}{\sqrt{2}+1}=1+\frac{1}{\sqrt{2}+1}$$ donde $1$ es la parte entera de a $\sqrt{2}$. A continuación, repita el proceso para $\sqrt{2}+1$ cuya parte entera es $2$: $$\sqrt{2}+1=2+(\sqrt{2}-1)=2+\frac{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}{\sqrt{2}+1}=2+\frac{1}{\sqrt{2}+1}$$ por lo tanto, repitiendo el proceso que hemos $$\sqrt{2}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{\sqrt{2}+1}}=1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\cdots}}}}$$

Answer 4

Siguiente Rystyn la respuesta: es bueno para escribir los decimales a entender lo bien que la convergencia es en el método de Newton:

1.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 
1.500000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 
1.416666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666 
1.414215686274509803921568627450980392156862745098039215686274509803921 
1.414213562374689910626295578890134910116559622115744044584905019200054 
1.414213562373095048801689623502530243614981925776197428498289498623195 
1.414213562373095048801688724209698078569671875377234001561013133113265 
1.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732 
1.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732 
1.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732 

Answer 5

$\newcommand{\+}{^{\daga}}% \newcommand{\ángulos}[1]{\left\langle #1 \right\rangle}% \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace #1 \right\rbrace}% \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack #1 \right\rbrack}% \newcommand{\ceil}[1]{\,\left\lceil #1 \right\rceil\,}% \newcommand{\dd}{{\rm d}}% \newcommand{\down}{\downarrow}% \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}}% \newcommand{\equalby}[1]{{#1 \cima {= \cima \vphantom{\enorme}}}}% \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,}% \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}}% \newcommand{\piso}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,}% \newcommand{\mitad}{{1 \over 2}}% \newcommand{\ic}{{\rm i}}% \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow}% \newcommand{\isdiv}{\,\left.\a la derecha\vert\,}% \newcommand{\cy}[1]{\left\vert #1\right\rangle}% \newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}}% \newcommand{\pars}[1]{\left( #1 \right)}% \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}}% \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,#2\,}\,}% \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}}% \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}}% \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}}% \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, nº 1 \,\right\vert}$ Es mejor evaluar $\sqrt{2} = 2\sqrt{1\over 2}$, y el de adivinar $3/4$$\sqrt{1 \over 2}$: rendimientos $38$ decimal exacto de los lugares en $5$ iteraciones !!!. $$x_{n + 1} = \media\,\pars{x_{n} + {1 \over 2x_{n}}}\quad\mbox{con}\,\ n \geq 0\,,\quad x_{0} = {3 \más de 4}\ \mbox{y}\ \raíz{2} = 2\lim_{n \to \infty}x_{n}$$

1.500000000000000000000000000000000000000 -> 2.250000000000000000000000000000000000000

1.416666666666666666666666666666666666667 -> 2.006944444444444444444444444444444444444

1.414215686274509803921568627450980392157 -> 2.000006007304882737408688965782391387928

1.414213562374689910626295578890134910117 -> 2.000000000004510950444942772099280764361

1.414213562373095048801689623502530243615 -> 2.000000000000000000000002543584239585437

1.414213562373095048801688724209698078570 -> 2.000000000000000000000000000000000000000

1.414213562373095048801688724209698078570 -> 2.000000000000000000000000000000000000000

1.414213562373095048801688724209698078570 -> 2.000000000000000000000000000000000000000

1.414213562373095048801688724209698078570 -> 2.000000000000000000000000000000000000000

1.414213562373095048801688724209698078570 -> 2.000000000000000000000000000000000000000