Siempre he tenido curiosidad acerca de esto, ¿por qué usamos campos como la única estructura algebraica para poner espacios vectoriales? Me parece un poco arbitrario para mí, así que me preguntaba qué sucedería en el que se sustituye el requisito con algo menos estructurado como un anillo (con la unidad, no queremos violar los axiomas). Alguien tiene alguna idea de lo que serían las consecuencias? Alguien tiene alguna idea/razones por las que no?
Respuesta
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Podemos hablar de anillos actuando en abelian grupos muy bien y con frecuencia, a los que llamamos módulos. El principal problema es que muchas nociones de álgebra lineal romper en esta teoría. Por ejemplo, la generación de subconjuntos no son lo que uno esperaría. Un ejemplo extremo es dejar a $\mathbb Z$ actuar en $\mathbb Q$ en forma natural, por la multiplicación. Diríamos considerar $\mathbb Q$ $\mathbb Z$- módulo. Entonces no hay linealmente independientes subconjuntos de tamaño mayor que $1$ pero $\mathbb Q$ no es finitely generado como un $\mathbb Z$-módulo. Incluso las peores cosas que puede suceder, por ejemplo, si consideramos $\mathbb Z/(2)$ $\mathbb Z$ módulo, a continuación, no hay no-trivial subconjuntos linealmente independientes!
