¿Cómo podemos recuperar el potencial gravitatorio newtoniano a partir de la métrica de la relatividad general?

Question

La descripción newtoniana de la gravedad puede formularse en términos de una función potencial $\phi$ cuyas derivadas parciales dan la aceleración:

$$\frac{d^2\vec{x}}{dt^2}=\vec{g}=-\vec{\nabla}\phi(x)=\left(\frac{\partial\phi}{\partial x}\hat{x}+\frac{\partial\phi}{\partial y}\hat{y}+\frac{\partial\phi}{\partial z}\hat{z}\right)$$

Sin embargo, en la relatividad general, describimos la gravedad mediante la métrica . Esta descripción es radicalmente diferente de la newtoniana, y no veo cómo podemos recuperar esta última a partir de la primera. ¿Podría alguien explicar cómo podemos obtener el potencial newtoniano a partir de la relatividad general, partiendo de la métrica $g_{\mu\nu}$ ?

Answer 1

Dado que la relatividad general se supone que es una teoría que sustituye a la gravedad newtoniana, uno espera ciertamente que pueda reproducir los resultados de la gravedad newtoniana. Sin embargo, es razonable esperar que tal cosa ocurra en una límite adecuado . Dado que la relatividad general es capaz de describir una gran clase de situaciones que la gravedad newtoniana no puede, no es razonable esperar que se recupere una descripción newtoniana para espacios-tiempo arbitrarios.

Sin embargo, bajo supuestos adecuados, se recupera la descripción newtoniana de la materia. Esto se llama tomar la Límite newtoniano (por razones obvias). De hecho, fue utilizado por el propio Einstein para fijar las constantes que aparecen en las ecuaciones de campo de Einstein (nótese que voy a poner $c\equiv 1$ en todo momento).

$$R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R=\kappa T_{\mu\nu} $$

Al exigir que la relatividad general reproduzca la gravedad newtoniana en el límite apropiado, se fija de forma única la constante $\kappa\equiv 8\pi G$ . Este procedimiento se describe también en la mayoría de los libros (introductorios) de relatividad general. Veamos ahora cómo obtener el potencial newtoniano a partir de la métrica.

Definición del límite newtoniano

Primero tenemos que establecer en qué situación esperaríamos recuperar la ecuación de movimiento newtoniana para una partícula. En primer lugar, está claro que debemos exigir que la partícula considerada se mueva a velocidades con magnitudes muy inferiores a la velocidad de la luz. En las ecuaciones, esto se formaliza requiriendo

$$\frac{\mathrm{d}x^i}{\mathrm{d}\tau}\ll \frac{\mathrm{d}x^0}{\mathrm{d}\tau} \tag{1}$$

donde las coordenadas espaciotemporales de la partícula son $x^\mu=(x^0,x^i)$ y $\tau$ es el momento adecuado. En segundo lugar, tenemos que considerar la situación en la que el campo gravitatorio no está "demasiado loco", lo que en cualquier caso significa que no debería cambiar demasiado rápido. Haremos más precisiones como

$$\partial_0 g_{\mu\nu}=0\tag{2}$$

es decir, la métrica es estacionario . Además, exigiremos que el campo gravitatorio sea débil para asegurar que nos mantenemos en el régimen newtoniano. Esto significa que la métrica es "casi plana", es decir: $g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}+h_{\mu\nu}$ donde $h_{\mu\nu}$ es una pequeña perturbación, y $\eta_{\mu\nu}:=\operatorname{diag}(-1,1,1,1)$ es la métrica de Minkowski. La condición $g_{\mu\nu}g^{\nu\rho}=\delta^\rho_\mu$ implica que $g^{\mu\nu}=\eta^{\mu\nu}-h^{\mu\nu}$ a primer orden en $h$ donde hemos definido $h^{\mu\nu}:=\eta^{\mu\rho}\eta^{\nu\sigma}h_{\rho\sigma}$$ ^1$. Esto se puede comprobar fácilmente mediante "plug-and-chug".

Tomando el límite newtoniano

Ahora bien, si queremos recuperar la ecuación del movimiento de una partícula, debemos buscar la ecuación correspondiente en la relatividad general. Se trata de la ecuación geodésica

$$\frac{\mathrm{d}^2x^\mu}{\mathrm{d}\tau^2}+\Gamma^\mu_{\nu\rho}\frac{\mathrm{d}x^\nu}{\mathrm{d}\tau}\frac{\mathrm{d}x^\rho}{\mathrm{d}\tau}=0 $$

Ahora, todo lo que tenemos que hacer es usar nuestras suposiciones. En primer lugar, utilizamos la ecuación $(1)$ y ver que sólo el $00$ -El componente del segundo término contribuye. Obtenemos

$$\frac{\mathrm{d}^2x^\mu}{\mathrm{d}\tau^2}+\Gamma^\mu_{00}\frac{\mathrm{d}x^0}{\mathrm{d}\tau}\frac{\mathrm{d}x^0}{\mathrm{d}\tau}=0 $$

De la definición de los símbolos de Christoffel

$$\Gamma^{\mu}_{\nu\rho}:=\frac{1}{2}g^{\mu\sigma}(\partial_{\nu}g_{\rho\sigma}+\partial_\rho g_{\nu\sigma}-\partial_\sigma g_{\nu\rho}) $$

vemos que, después de utilizar la ecuación $(2)$ los únicos símbolos relevantes son

$$\Gamma^{\mu}_{00}=-\frac{1}{2}g^{\mu\sigma}\partial_\sigma g_{00} \textrm{.}$$

Utilizando la hipótesis de campo débil y manteniendo sólo los términos de primer orden en $h$ obtenemos del álgebra directa que

$$\Gamma^{\mu}_{00}=-\frac{1}{2}\eta^{\mu\sigma}\partial_\sigma h_{00} $$

lo que nos deja la ecuación geodésica simplificada

$$\frac{\mathrm{d}^2 x^\mu}{\mathrm{d}\tau^2}=\frac{1}{2}\eta^{\mu\sigma}\partial_\sigma h_{00}\bigg(\frac{\mathrm{d}x^0}{\mathrm{d}\tau}\bigg)^2 $$

Una vez más, utilizando la ecuación $(2)$ muestra que el $0$ -El componente de esta ecuación es el siguiente $\ddot{x}^0=0$ (donde el punto denota la diferenciación con respecto a $\tau$ ), por lo que sólo nos quedan los componentes espaciales no triviales:

$$\ddot{x}^i=\frac{1}{2}\partial_i h_{00} $$

que se parece sospechosamente a la ecuación de movimiento newtoniana

$$\ddot{x}^i=-\partial_i\phi$$

Tras la identificación natural $h_{00}=-2\phi$ vemos que son exactamente iguales. Así, obtenemos $g_{00}=-1-2\phi$ y han expresado el potencial newtoniano en términos de la métrica.

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1. Para una derivación rápida y sucia, suponemos una expansión de la forma $g^{\mu\nu}=\eta^{\mu\nu}+\alpha \eta^{\mu\rho}\eta^{\nu\sigma}h_{\rho\sigma}+\mathcal{O}(h^2)$ (nótese que la multiplicación por $\eta$ es lo único posible que podemos hacer sin obtener un término de segundo orden), y simplemente enchufarlo en la relación dada en el post:

$$(\eta_{\mu\nu}+h_{\mu\nu})\big(\eta^{\mu\nu}+\alpha \eta^{\mu\rho}\eta^{\nu\sigma}h_{\rho\sigma}+\mathcal{O}(h^2)\big)=\delta^\mu_\rho \Leftrightarrow \alpha=-1$$

Answer 2

Estás mezclando ligeramente dos cosas diferentes. Una cosa es la ecuación del movimiento de una partícula y la otra es la ecuación del movimiento de la métrica. La respuesta corta a tu pregunta es que la gravedad afecta a la métrica y entonces la métrica afecta al movimiento de las partículas. Por lo tanto, hay que resolver dos conjuntos de ecuaciones, el primero primero y el segundo después.

Las ecuaciones de Einstein relacionan la métrica con la presencia de energía y materia en algún punto del universo como $$ R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}Rg_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4}\,T_{\mu\nu}\tag{1} $$ donde el lado derecho contiene todo lo que puede generar campos gravitacionales. Obsérvese, de paso, que puede haber contribuciones adicionales en el lado izquierdo como $g_{\mu\nu}\Lambda$ pero esto se sale del tema. Sin embargo, la solución a $(1)$ es una métrica $g_{\mu\nu}(x,t)$ en cualquier punto del espacio y del tiempo. Una vez que se tiene dicha métrica, se introduce para derivar los coeficientes de las conexiones Levi-Civita $\nabla_j e_k = \Gamma^i_{\phantom{i}jk}e_i$ como $$ \Gamma^i_{\phantom{i}jk}=\frac{1}{2}g^{ir}\Big(\partial_k g_{rj} + \partial_j g_{rk}-\partial_r g_{jk}\Big).\tag{2} $$ Una vez que haya derivado las conexiones Levi-Civita según $(2)$ Si se utilizan en la ecuación del movimiento de una partícula que se mueve a lo largo de la geodésica de una métrica $g$ : $$ \ddot{x}^{\mu}+\Gamma^{\mu}_{\phantom{\mu}\nu\lambda}\dot{x}^{\nu}\dot{x}^{\lambda}=0 $$ la derivada que se toma con respecto a la longitud de la trayectoria $x^{\mu}(s)$ .

Por ejemplo, si se resuelve $(1)$ utilizando el tensor de tensión-energía para una partícula puntual alejada del observador, introduzca la métrica resultante en $(2)$ y luego resuelve las ecuaciones de movimiento, obtendrás exactamente la ley de Newton estándar para una partícula en un potencial esférico.

Answer 3

La respuesta de Danu está maravillosamente escrita. Sólo para añadir un poco más en la última parte de la respuesta de Danu sobre la identificación natural que $h_{00}=-2\phi$ . De hecho, la métrica completa en el límite newtoniano puede calcularse fácilmente utilizando las ecuaciones de Einstein linealizadas y, mediante el mismo cálculo, se puede incluso obtener una expresión para $\phi$ que coincide con el cálculo newtoniano habitual.

Las ecuaciones de Einstein linealizadas (en el Calibre de Donder ) puede escribirse como

$$ \square h _ { \mu \nu } - \frac { 1 } { 2 } \square h \eta _ { \mu \nu } = - 16 \pi G T _ { \mu \nu } $$

y definiendo $\bar { h } _ { \mu \nu } = h _ { \mu \nu } - \frac { 1 } { 2 } h \eta _ { \mu \nu }$ obtenemos la sencilla expresión

$$ \square \bar { h } _ { \mu \nu } = - 16 \pi G T _ { \mu \nu } $$

que es totalmente equivalente a las dadas por @Danu y @gented, pero si tomamos una configuración de materia estacionaria simple como una masa puntual, $M$ centrado en el origen:

$$ T_{00} = M \delta^{(3)}(\mathbf{x}) \\ T_{ij} = 0 \ \forall \ i,j=1,2,3 $$

podemos resolver fácilmente las ecuaciones de Einstein ya que se reducen a las ecuaciones de onda simples:

$$ \nabla ^ { 2 } \bar { h } _ { 00 } = - 16 \pi G M \delta^{(3)}(\mathbf{x}) \quad \text { and } \quad \nabla ^ { 2 } \bar { h } _ { 0 i } = \nabla ^ { 2 } \bar { h } _ { i j } = 0 $$

La solución de la métrica es, por tanto, (tras introducir las definiciones adecuadas de $g_{\mu\nu}$ , $h_{\mu\nu}$ y $\bar{h}_{\mu\nu}$ )

$$ d s ^ { 2 } = - ( 1 + 2 \phi ) d t ^ { 2 } + ( 1 - 2 \phi ) d \mathbf { x } \cdot d \mathbf { x } $$

con $\phi = \frac{-GM}{r}$ como todos conocemos y amamos.

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Referencia:

• Conferencias de David Tong sobre Relatividad General Página 203: http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/gr.html