Relación entre el $L$-función de forma modular y el $L$-en función de sus asociados $\ell$-ádico representación, tal como se define por Bloch-Kato

Question

Deje $f\in\mathcal{S}_k(\Gamma_1(N),\epsilon)$ es una normalizado eigenform para todos los operadores de Hecke, con carácter $\epsilon$, $k\geq 2$, y asumir la $q$-la expansión de la $f$ ha racional de los coeficientes. El $L$-función de $L(f,s)$ admite un producto de Euler de la forma

$L(f,s)=\prod_{p\text{ prime}}(1-a_pp^{-s}+\epsilon(p)p^{k-1-2s})^{-1}$.

Por otro lado, para una prima fija $\ell$, nos hemos asociado $\ell$-ádico Galois representación $\rho_f:G_\mathbf{Q}\rightarrow\mathrm{GL}_2(\mathbf{Q}_\ell)$ unramified fuera de $\ell N$ con el polinomio característico de a $\rho_f$ de una media aritmética Frobenius en$p\nmid\ell N$$X^2-a_pX+\epsilon(p)p^{k-1}$. Bloch y Kato ha definido local $L$-factores de $\rho_f$ en cada uno de los prime $p$. Si $p\neq\ell$, definen el local $L$-factor de ser el recíproco del polinomio $\det(I-\rho_f(\mathrm{Frob}_p^{-1})X\vert \rho_f^{I_p})$ evaluado en $p^{-s}$ donde $I_p$ es una inercia grupo en $p$. Para $p=\ell$, la definición es similar, pero se define en términos de la Frobenius acción de $D_{cris,\ell}(\rho_f)$.

Estoy teniendo problemas para hacer coincidir el local $L$-factores de la $L$-función de $\rho_f$ con los de $f$, y ahora me pregunto si ellas coinciden en todo. Si, por ejemplo, $p\nmid\ell N$, entonces, como matrices con coeficientes en $\mathbf{Q}_p[X]$, tenemos

$I-\rho_f(\mathrm{Frob}_p^{-1})X=(-\rho_f(\mathrm{Frob}_p^{-1}))(IX-\rho_f(\mathrm{Frob}_p))$,

así que, sabiendo lo que debo hacer con el polinomio característico de a $\rho_f(\mathrm{Frob}_p)$, me sale que la de Bloch-Kato local $L$-factor de es$((\epsilon(p)^{-1}p^{1-k})(p^{-2s}-a_pp^{-s}+\epsilon(p)p^{k-1}))^{-1}$,$(1-a_pp^{1-k-s}+\epsilon(p)^{-1}p^{1-k-2s})^{-1}$. Esta (aparentemente) difiere del local $L$-factor de a $p$$L(f,s)$.

Mis preguntas son:

(1) he conseguido algo malo de arriba?

(2) debo incluso esperar la $L$-función de la forma modular para que coincida con el $L$-función asociada a las $\ell$-ádico representación (tal vez tengo que dualize la representación o de alguna manera normalizar de forma diferente)?

Answer 1

Su definición de la $\rho_{f,\ell}$ es por un dualization, creo.

Las normalizaciones en Bloch--Kato son tales que usted obtenga el habitual $L$-función de $f$ si usted pone el Deligne representación $\rho_{f, \ell}$; pero Deligne de la normalización para $\rho_{f, \ell}$ es tal que el polinomio característico de geométrica Frobenius en $p \nmid \ell N$ es el Hecke polinomio (en particular, el determinante de a $\rho_{f, \ell}$ es un número finito de orden de carácter veces el $(1-k)$-ésima potencia de la cyclotomic personaje, no el $(k-1)$-th). Por ejemplo, para un peso de 2 formulario que se adjunta a una curva elíptica, Deligne la representación de la es $H^1_{et}$ de la curva elíptica, que es el doble de la Tate módulo de la curva. (Esto a veces se llama el "cohomological" la normalización, como opuesto a la "homológica de la" normalización que es lo que se está utilizando.)