Demostrar $\sum_{n=1}^\infty(e-\sum_{k=0}^n\frac1{k!})=1$

Question

Esto viene de la sección de comentarios de esta pregunta aquí, créditos Lucian.

La declaración es

$$\sum_{n=1}^\infty\left(e-\sum_{k=0}^n\frac1{k!}\right)=1$$

Esto se ve realmente interesante, así que me preguntaba si alguien tiene alguna idea/sugerencia, o mejor aún, a toda prueba?

Descargo de responsabilidad: he añadido ese enlace en concreto porque esto podría parecerse a la tarea, que lleva a "Lo han intentado?". Así que la responsabilidad es, en realidad yo no he probado nada todavía, porque sí, pidiendo a la comunidad es más fácil. Sería genial si alguien puede responder a esto, sin embargo, ya que yo, personalmente, al menos, creo que esta ecuación es muy interesante y añade valor a cualquier entusiasta de las matemáticas de tropezar con ella algún día aquí. :) Voy a ser yo mismo tratando de que mientras tanto también a pesar de que(realmente es muy interesante) , y agregar y aceptar mi solución si tengo éxito y no hay respuestas todavía.

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Traté de wolfram alpha para$\sum_{k=0}^n\frac1{k!}$, y los rendimientos

$$\sum_{k=0}^n\frac1{k!} = \frac{e\Gamma (n+1,1)}{\Gamma(n+1)}$$

donde $\Gamma(a,r)$ es la función gamma incompleta y $\Gamma(a)$ es la función gamma de euler. La documentación aquí. Podría ser de ayuda, puede que no. Sólo pensé que valdría la pena añadir.

Answer 1

El primer pensamiento que viene a mi cabeza es escribir $$e - \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} = \sum_{k=n+1}^\infty \frac{1}{k!},$$ so that the given sum is equivalent to a double sum: $$\begin{align*} \sum_{n=1}^\infty \sum_{k=n+1}^\infty \frac{1}{k!} &= \sum_{k=2}^\infty \sum_{n=2}^k \frac{1}{k!} \\ &= \sum_{k=2}^\infty \frac{1}{(k-2)!k} \\ &= \sum_{k=2}^\infty \frac{1}{(k-1)!} - \frac{1}{k!} = 1. \end{align*}.$$ por supuesto, un poco más riguroso argumento es necesaria para justificar el intercambio de la orden de la suma. Una modificación de menor importancia considerar la serie original de' sumas parciales, y tomando el límite para obtener el doble de la suma infinita, es suficiente y se deja como ejercicio.

Answer 2

$$ \sum_{n=1}^\infty\left(e-\sum_{k=0}^n\frac1{k!}\right) =\sum_{n=1}^\infty \int_0^1 \exp(u) \frac{(1-u)^{n}}{n!} du $$, ya que todo es positivo: $$ \sum_{n=1}^\infty\left(e-\sum_{k=0}^n\frac1{k!}\right)= \int_0^1 \exp(u) \sum_{n=1}^\infty \frac{(1-u)^{n}}{n!} du \\= \int_0^1 \exp(u)(\exp(1-u) - 1) du = e - \int^1_0 \exp u du = 1 $$