He estado buscando en Grupos Topológicos, y recientemente he leído sobre el grupo $\operatorname{Homeo}(X)$ de todos los homeomorphisms de $X$ sobre sí mismo. En particular, cuando se $X$ es un espacio métrico. El subgrupo $\operatorname{Is}(X)$ de todas las isometrías de $X$ sobre sí misma, equipado con la topología de pointwise convergencia resulta ser un grupo topológico. He comprobado que la multiplicación y la inversa de las operaciones son continuas.
He leído que si $X$ es un espacio normal, a continuación, $\operatorname{Homeo}(X)$ equipada con el cerrado de la base de la topología es un grupo topológico. También, si $X$ es un compacto Hausdorff espacio, a continuación, $\operatorname{Homeo}(X)$ equipada con el compacto-abierta topología es un grupo topológico.
Mi pregunta es acerca de lo que sucede si queremos equipar $\operatorname{Homeo}(X)$ (donde $X$ es un espacio métrico) con la topología de pointwise convergencia. Es un grupo topológico? Hay un espacio específico $X$ tal que $\operatorname{Homeo}(X)$ equipado con la topología de pointwise convergencia no es un grupo topológico?
