El método de separación de variables es utilizado en muchas ocasiones en el nivel superior, cursos de física, tales como QM y EM. Pero cuando se utiliza, no está clara la razón por la que su uso es permitido, excepto que trabaja, o que intentemos ver.
Hay un teorema que proporciona la condición de la(s) que si está satisfecho, a continuación, el método de separación de variables se garantiza el trabajo en el Pde?
Al mejor de mi conocimiento:
No, no hay ningún teorema general que indica cómo a partir de una arbitraria ecuación diferencial parcial y concluir si que la ecuación diferencial parcial se puede resolver por separación de variables. (Debo señalar aquí que uno de los problemas es el inicio de una arbitraria ecuación diferencial parcial, y deducir un cambio de variables relativas a las que se puede realizar la separación de variables. Las condiciones dadas por naryb a continuación es sin duda suficiente [usar el trivial cambio de variables], pero definitivamente no es necesario.)
Por otro lado, si usted miró a través de la literatura, hay una gran cantidad de criterios individuales de las ecuaciones diferenciales parciales de determinadas formas. Particularmente, un ejemplo bien conocido es el de Eisenhart la clasificación de las funciones potenciales para que el asociado operador de Schrödinger es separable. Ver este enlace.
Es innegable que la separación de las variables tienen algo que ver con las simetrías del sistema (de) de las ecuaciones diferenciales parciales que usted está mirando; pero la conexión es aún poco conocidos. Por ejemplo, se observó hace mucho tiempo que los lineales de la ecuación de onda en ciertos curva el espacio-tiempos (más precisamente, el agujero negro de Kerr fondos) son separables, pero el espacio-tiempo no parece haber suficiente simetrías infinitesimales para que esto haya sido posible. (Por una simetría infinitesimal me refiero a lo que se asocia a una Mentira grupo de acción sobre la PDE.) Resulta que esta separación tiene que ver con el llamado Carter constante, el cual es definido por la noción de un orden superior de simetría. Hasta donde yo sé, la conexión entre estos de orden superior simetrías y divisibilidad de las ecuaciones en derivadas parciales es todavía un campo de investigación activa.
No sé si existe aún una definición universalmente aceptada de lo que la "separación de variables" significa!
Algunas sugerencias de otras lecturas:
Miller 1977 tratado el estudio de la relación entre simetrías y de separación de variables para los de segundo orden ecuaciones diferenciales parciales.
Koornwinder escribió una detallada reseña de un libro sobre el anterior tratado, que tiene muchos lugares históricos y muestra, al menos hace 30 años, cómo las nociones confusas.
Si usted tiene acceso a la misma, una breve encuesta de Miller en el libro está disponible como un documento corto.
Y aquí está el artículo que se alude en Koornwinder de revisión, el cual aborda el tema de la definición de la noción de separación de variables.
Para una explicación de los conceptos de simetría y generalizado de la simetría de las ecuaciones diferenciales, Olver del libro es por ahora un poco de la norma de los recursos.
Tenga en cuenta que el OP ha publicado esto a la física.se (ahora cerrado) así, y yo voy a dar mi bruto-n-ready razonamiento para usar el método.
En muchos de los sistemas que los físicos de acuerdo con que hay un teorema de unicidad de las soluciones a la ecuación diferencial parcial que satisfagan ciertas clases de condiciones de contorno.
Esto le permite saber que después de haber encontrado una solución para el problema físico (que incluye las condiciones de contorno) se han encontrado todas las soluciones.
Una vez que la pura facilidad del método hace que vale la pena probar si usted tiene alguna simetría que sugiere cómo la solución podría factor.
Guess-n-check es un problema legítimo de resolución de la técnica.
Para ampliar sobre la respuesta publicada por dmckee, hay teoremas de singularidad de Laplace de la ecuación de Poisson de la ecuación, la ecuación de onda y la ecuación de Schroedinger (para los Hamiltonianos de la mayoría simple de los sistemas físicos), y, por supuesto, más, a pesar de que estos son probablemente los que usted se refiere.
Otra cosa a tener en cuenta es que esto no implica que las soluciones son necesariamente no separables, ecuaciones diferenciales lineales nos permitan tomar las sumas de soluciones y permanecer en el espacio de la solución. Por lo tanto funciona como $x+y+z$ aún podrían ser las soluciones aunque no son separables, por tanto tiempo como puedan ser construido fuera de la separables soluciones. Me atrevería a adivinar que la separables soluciones constituyen una base para el espacio de solución en todos los casos comunes.
También eche un vistazo a esto y también esto.
Me limitaré a hacer una breve nota, la mayoría de separación de variables soluciones conducir a un eigenfunction de descomposición. En ciertos agradables espacios de esto podría ser visto como la representación de una función de muchas variables como un tensor construido a través de un simple tensores, o en este caso los productos de funciones propias.
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