La aplicación de Freyd-Mitchell incrustación teorema en grandes categorías

Question

Comúnmente se dice que el Freyd-Mitchell incrustación teorema permite la prueba mediante el diagrama de perseguir en cualquier abelian categoría.

Esto no es inmediatamente evidente, dado que sólo un pequeño abelian categorías pueden ser incrustados en R-mod.

Weibel, por ejemplo, sostiene que la serpiente lema sostiene en una arbitraria abelian categoría (p. 12, Introducción al Álgebra Homológica):

El Lema de la Serpiente también se cumple en un arbitrario abelian categoría $\mathcal{C}$. Para ver esto, deje que $\mathcal{A}$ es la más pequeña abelian subcategoría de $\mathcal{C}$ que contiene el
los objetos y morfismos del diagrama. Desde $\mathcal{A}$ tiene un conjunto de objetos, el Freyd-Mitchell Incrustación Teorema (ver 1.6.1) da una exacta, plenamente fiel
incrustación de Un a R-mod para algunas anillo $R$.

Estoy buscando una referencia o una explicación de por qué sabemos que la categoría de $\mathcal{A}$, que contiene el diagrama, tiene que ser pequeño.

Me temo que esto podría ser una pregunta estúpida, pero ¿por qué no podemos potencialmente terminan necesidad de que toda la categoría de $\mathcal{C}$ contener el diagrama? Yo no entender bien cómo $\mathcal{A}$, será construido.

Gracias!

Answer 1

Acaba de sacar esto de sin respuesta cola: sí, puedes diagrama de chase incluso en un no-local pequeño abelian categoría de uso de Freyd-Mitchell. Vamos $D:J\to \mathcal{A}$ ser una (pequeña) diagrama en una hoja de abelian categoría y, a continuación, trabajar en la abelian categoría generadas por $D(J)$. Este es automáticamente pequeño: sólo se necesita homs en la abelian grupos generados por los morfismos en $D(J)$, así como por los granos, cokernels, y finito directa sumas de tales morfismos. Este proceso de toma de núcleos y la generación de morfismos de grupos termina después de countably muchos pasos, por lo que, de hecho, recibe un abelian categoría de cardinalidad no más de $\aleph_0|J|$, donde $|J|$ es la suma de las cardinalidades de los morfismos y objetos de $J$.