No de unidades en un anillo conmutativo forma de un ideal?

Question

No de unidades en un anillo conmutativo forma de un ideal?

Los siguientes son mis pensamientos sobre esto. He hecho alguna de las suposiciones incorrectas?

Deje $R$ ser un anillo conmutativo. Deje $a, b \in N$ $N$ siendo el conjunto de no-unidades en $R$. Debemos mostrar lo siguiente para probar $N$ es un ideal -

1. $0 \in N$
2. $a + b \in N$
3. $-a \in N$
4. $ar, ra \in N \ \forall r \in R$

1. $0 \in N$

I. e. $0$ no unidad. Esto es cierto como $\nexists \ 0^{-1}$ tal que $0 \cdot 0^{-1} = 1$

2. $a + b \in N$

Suponga $a + b$ es una unidad. Entonces $\exists \ g \in R$, $g \neq 0$ tal que

$(a + b)g = 1$ $\implies$ $ag + bg = 1$

Para que esto se cumpla cualquiera de las $a$ o $b$ debe $0$. Considere el caso en que $a = 0$. Luego tenemos a $bg = 1$. Pero esto es una contradicción, como $b$ no es una unidad. Por lo tanto $\nexists \ g \in R$ tal que $(a + b)g = 1$. Lo mismo para cuando $b = 0$.

Por lo tanto, $a + b$ no es una unidad.

3. $-a \in N$

I. e. ¿Existe $(-a) \in N$ tal que $a + (-a) = 0$?

Suponga $-a$ es una unidad. A continuación, $\exists \ g \in R, g \neq$ 0, tal que $(-a)g = 1$

Considere la posibilidad de $a + (-a) = 0$

Multiplicando ambos lados por $g$ tenemos

$(a + (-a))g = 0 \cdot g$

$ag + (-a)g = 0$

$ag + 1 = 0$

$-ag = 1$

$a(-g) = 1$

Pero esto es una contradicción, como $a$ no es una unidad. Por lo tanto $(-a)$ no es una unidad.

4. $ar, ra \in N \ \forall r \in R$

Suponga $ar$ es una unidad. A continuación, $\exists \ g \in R, g \neq$ 0, tal que $(ar)g = 1$

I. e. $a(gr) = 1$

Pero esto es una contradicción, como $a$ no es una unidad. Por lo tanto $ar$ no es una unidad.

Así, para concluir, la falta de unidades en un anillo conmutativo hacer la forma de un ideal. Son mis funcionamiento correcto?

Answer 1

En general, el conjunto de $N$ de los no-unidades en un anillo conmutativo $R$ no se forma un ideal. El primer punto, $0\in N$, falla si y sólo si $R = \{0\}$ es el trivial de anillo, en el que $0$ es una unidad. Los puntos 3. y 4. mantenga pulsado en cualquier anillo conmutativo, y su argumento es correcto.

Sin embargo, en general, la suma de los no-unidades no se necesita ser un no-unidad. En $\mathbb{Z}$ por ejemplo, tenemos $3 + (-2) = 1 \notin N$. Un anillo conmutativo en el que $N$ es un ideal de un anillo local, un anillo con un único ideal maximal - ese ideal es entonces el conjunto de no-unidades. Un ejemplo de un anillo local es el anillo de poder formal de la serie sobre un campo, $K[[X]]$, en el que el único ideal maximal es el ideal generado por a $X$.