Una aplicación de la desigualdad de Jensen

Question

Dado que $\{\phi_n\}$ es una secuencia de números no negativos cuya suma es $1$ y $\{\psi_n\}$ es una secuencia de números positivos, ¿cómo puedo demostrar que $$ \prod_{n=1}^{\infty}~\psi_n^{\phi_n}~\leq~\sum_{n=1}^{\infty}~\phi_n\psi_n~? $$

Gracias.

PD: No estoy muy seguro del título. Tal vez, alguien podría darle un título mejor?

Answer 1

Aquí está la prueba de página 92 de La clase magistral de Cauchy-Schwarz por J. Michael Steele.

Como la función exponencial es convexa, la desigualdad de Jensen da $$\exp\left(\sum_n \phi_n y_n\right)\leq \sum_n \phi_n e^{y_n}.$$

Dejar $\psi_n=e^{y_n}$ arriba obtenemos $$\prod_{n}\ \psi_n^{\phi_n} \leq \sum_n \phi_n \psi_n.$$

Answer 2

Su desigualdad $$\prod_{n=1}^{\infty}~\psi_n^{\phi_n}~\leq~\sum_{n=1}^{\infty}~\phi_n\psi_n$$ equivale a $$\sum_{n=1}^{\infty} {\phi_n} \ln \psi_n \leq \ln \left(\sum_{n=1}^{\infty} \phi_n\psi_n\right).$$

Esto se puede obtener de la forma integral de La desigualdad de Jensen : Lo siguiente es cierto para cualquier función cóncava $$\varphi\left(\int_\Omega g\, d\mu\right) \ge \int_\Omega \varphi \circ g\, d\mu. $$ (Lo he copiado de la wikipedia, sólo he cambiado convexo por cóncavo y he cambiado el signo de desigualdad).

Se obtiene la desigualdad anterior para:

• función cóncava $\varphi(x)=\ln(x)$
• medir el espacio $\Omega=\mathbb N$ con la medida determinada por $\mu(\{n\})=\phi_n$
• función $g:\Omega\to\mathbb R$ dado por $g(n)=\psi_n$ .

La medida $\mu$ a veces se llama medida discreta .

O, lo que es lo mismo, puede consultar $\psi_n$ como probabilidades y luego utilizar la forma probabilística de la desigualdad de Jensen. (Comparando el valor medio del logaritmo y el logaritmo del valor medio).

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Si lo prefieres, también puedes utilizar la versión finita de la desigualdad de Jensen: $$\varphi\left(\frac{\sum_{i=1}^k a_i x_i}{\sum_{j=1}^k a_j}\right) \ge \frac{\sum_{i=1}^k a_i \varphi (x_i)}{\sum_{j=1}^k a_j}$$ (de nuevo - la fórmula anterior está copiada de wikipedia y he cambiado el signo) y luego tomar el límite.

Alternativamente, se puede utilizar la versión finita para demostrar $$\prod_{n=1}^{N} \psi_n^{\phi_n} \leq \sum_{n=1}^{N} \phi_n\psi_n \qquad (*)$$ para una secuencia finita arbitraria $(\phi_n)$ cumpliendo con $\sum_{n=1}^{N} \phi_n=1$ , utilice esto para la secuencia y luego use esto para derivar lo mismo para su secuencia original -- infinita --, tomando la desigualdad (*) para $\phi_1,\dots,\phi_N,1-\sum_{i=1}^N \phi_i$ y $\psi_1,\dots,\psi_n,0$ . (De esta manera los límites son un poco menos complicados y no tiene la suma $\sum_{j=1}^k \phi_j$ en el denominador).

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BTW Vale la pena mencionar que esto es una generalización de Desigualdad AM-GM .

Answer 3

Podemos aplicar la desigualdad de Jensen para una suma finita, es decir $\sum_{k=1}^N\alpha_kf(x_k)\leq f\left(\sum_{k=1}^n\alpha_kx_k\right)$ si $\sum_{k=1}^n\alpha_k=1$ . Para ver eso, fija $n\in\mathbb N$ y poner $c_k:=\frac{a_k}{\sum_{j=1}^na_j}$ . Entonces por concavidad de $x\mapsto \ln x$ : \begin{align} \ln\prod_{k=1}^nb_k^{a_k}&=\sum_{k=1}^na_k\ln b_k\\ &=\left(\sum_{j=1}^na_j\right)\sum_{k=1}^nc_k\ln b_k\\ &\leq \left(\sum_{j=1}^na_j\right)\ln\left(\sum_{k=1}^nc_k b_k\right) \\ &=\left(\sum_{j=1}^na_j\right)\left(\ln\left(\sum_{k=1}^na_k b_k\right)-\ln\left(\sum_{j=1}^na_j\right)\right)\\ &\leq\ln\left(\sum_{k=1}^{+\infty}a_k b_k\right)-\ln\left(\sum_{j=1}^na_j\right), \end{align} y como $\lim_{n\to\infty}\sum_{j=1}^na_j=1$ obtenemos el resultado, tomando el $\limsup$ .