¿Existe una función discontinua en el plano que tenga derivadas parciales de todos los órdenes?

Question

Si uno requiere simplemente la existencia de derivadas parciales de primer orden en lugar de todos los órdenes, entonces un ejemplo estándar es la función

$$ f(x,y) = \left\{\begin{array}{l l} \frac{2xy}{x^2+y^2} & \quad \text{if $(x,y)\neq(0,0),$}\\ 0 & \quad \text{if $(x,y)=(0,0).$} \end{array} \right.$$

Sin embargo, esto no constituye una respuesta a mi pregunta, ya que la derivada parcial de $\frac{\partial f}{\partial x}$ con respecto a $y$ no existe en el origen.

P.D.: Esta pregunta surgió de mi duda sobre si, en la definición de una función suave, la continuidad de los parciales es un requisito esencial o no.

Answer 1

Para facilitar la lectura, he texificado una parte de post de ciencia y matemáticas por Dave L. Renfro (este post es un CW).

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Lo que sigue es de The American Mathematical Monthly 67 #8 (octubre de 1960), 813-814.

Función discontinua con derivadas parciales en todas partes 4876 [1959, 921]. Propuesto por Naoki Kimura, Universidad de Washington

Si una función de valor real $f(x,y)$ de dos variables reales posee todas sus derivadas parciales $$ \frac{\partial^{m+n} f(x,y)}{\partial x^m \partial y^n}$$ en cada punto, ¿es necesariamente continua?

Solución de John Burr, Universidad de Nueva Inglaterra, Australia.

El siguiente ejemplo muestra que no es necesario que la función sea continua. La función $$f(x,y) = \begin{cases} \exp\left(-\frac{x^2}{y^2} - \frac{y^2}{x^2}\right) \quad & xy \ne 0 \\ 0 & \text{otherwise}\end{cases}$$ es discontinuo en $(0,0)$ ya que $\lim_{t\to 0}f(t,t) = e^{-2}\ne f(0,0)$ . Supongamos que se ha demostrado que una derivada parcial particular $\phi(x,y)$ tiene las propiedades

1. $\phi(0,y) = \phi(x,0) = 0$
2. si $xy \ne 0$ entonces $\phi(x,y) = R(x,y) f(x,y)$ donde $R(x,y)$ es una función racional con denominador de la forma $ x^p y^q$ .

Entonces, por 1 , $ \phi_y (0,y) = \phi_x (x,0) = 0$ ; por 2 , $\phi_x(0,y) = 0$ cuando $y \ne 0$ ya que cuando $x\to 0$ , $f(x,y) \to 0$ más rápidamente que cualquier poder de $x$ . Del mismo modo, $\phi_y (x,0) = 0$ . Por lo tanto, $\phi_x (x,y)$ y $\phi_y (x,y)$ ambos tienen la propiedad 1 y se desprende de 2 que también tienen la propiedad 2 . Desde $f(x,y)$ tiene estas propiedades, se sigue por inducción que todas las derivadas parciales las tienen, y que estas derivadas existen en cada punto.

Cabe señalar que esta función satisface condiciones más estrictas que las prescritas en el problema; a saber, las condiciones adicionales de que las derivadas parciales mixtas existan todas, y sean independientes del orden en que se realicen las diferenciaciones.

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Ahora, a la pregunta

si, en la definición de una función suave, la continuidad de los parciales es un requisito esencial o no.

Diré que definir la suavidad mediante parciales es un enfoque erróneo para empezar. La definición debería ser en términos de la derivada total. Entonces se puede indagar en su relación con las derivadas parciales y obtener resultados como: la existencia y continuidad de las parciales implica la existencia de la derivada total de ese orden.

Answer 2

El enlace del comentario de @DavidL.Renfro da un ejemplo muy bonito... Pero/y puede haber alguna razón para dar un tipo de respuesta complementaria. A saber, si miramos (digamos templado para simplificar, para no preocuparse de los truncamientos suaves y demás) distribuciones En primer lugar (como calentamiento para el punto que quiero hacer) el teorema de Clairault sobre la intercambiabilidad de los segundos parciales mixtos se convierte en siempre-verdadero, porque la transformada de Fourier (de las distribuciones templadas) convierte $\partial/\partial x$ a la mera multiplicación por $ix$ y de forma similar para $y$ y estos operadores de multiplicación ciertamente conmutan. En particular, cualquier fallo en los contraejemplos tiene que estar en una forma que la integración contra las funciones de prueba no pueda detectar.

Del mismo modo, con la pregunta que nos ocupa, a un nivel apenas más sofisticado, un teorema de imbricación de Sobolev dice que si $f\in L^2(\mathbb R^2)$ y $\Delta f\in L^2(\mathbb R^2)$ entonces $f$ es continua. Aquí $\Delta$ es la suma de los segundos parciales puros, como es habitual. (Además, $f$ puede truncarse suavemente para que cualquier obstáculo a la integrabilidad cuadrada no esté en el infinito, sino sólo localmente).

Así, una vez más, para $f$ localmente integrable al cuadrado (!) con soporte compacto y $\Delta f$ localmente integrable al cuadrado, $f$ es continua.

Por lo tanto, los contraejemplos deben tener también otras características bastante patológicas.