¿Es el determinante diferenciable?

Question

Me preguntaba, dado un $n\times n$ matriz cuadrada con $n^2$ muchas entradas, la función $\det:\left(a_1,a_2,\ldots,a_{n^2}\right)\to \textbf{R}$ que da el determinante donde $a_{k}$ son las entradas del $n\times n$ matriz, ¿es esta función (determinante) un tipo diferenciable? Si es así, ¿es la derivada continua? Es decir, ¿es $d\left(\det\right)$ ¿una función continua? Además, si es así, ¿a qué clase de diferenciabilidad pertenece esta $\det$ ¿pertenece a la función?

Gracias de antemano.

Answer 1

Como otros han señalado, ya que $A=(a_{ij})_{i,j=1\dots n}$ tiene un determinante $$ \det A = \sum_{\sigma\in S_n} \epsilon_\sigma\prod_{k=1}^n a_{k,\sigma(k)} $$ que es una expresión polinómica en el $a_{ij}$ el mapa $\det: \mathbb R^{n\times n}\to\mathbb R$ es infinitamente diferenciable. La primera derivada con respecto a $a_{ij}$ se calcula como $$ \frac{\partial}{\partial a_{ij}} \det A = (\operatorname{adj} A)_{ji}, $$ donde $\operatorname{adj} A$ es el matriz adjunta de $A$ .

También podemos observar la derivada total (o derivada de Fréchet) $\mathrm D\det: \mathbb R^{n\times n}\to L(\mathbb R^{n\times n},\mathbb R)$ que asigna a cada $A\in\mathbb R^{n\times n}$ el mapa lineal $\mathrm D \det(A) : \mathbb R^{n\times n}\to \mathbb R$ dado por $$ (\mathrm D\det(A))(B) = \sum_{i,j} \left( \frac{\partial}{\partial a_{ij}} \det A\right) b_{ij}= \sum_{i,j} (\operatorname{adj}A)_{ji}b_{ij} = \operatorname{tr}((\operatorname{adj} A)B).$$

Para los invertibles $A$ podemos utilizar $A^{-1}=\frac{1}{\det a}\operatorname{adj}A$ para obtener la expresión $$ (\mathrm D\det(A))(B) = \det(A)\operatorname{tr}(A^{-1} B). $$

Esto nos permite utilizar la regla de la cadena para calcular la derivada de funciones como $f(t)=\det(A(t))$ donde $A:\mathbb R\to\mathbb R^{n\times n}$ es una función valorada matricialmente diferenciable. Por la regla de la cadena, tenemos \begin {align} f'(t) &= \left ( \mathrm Df(t) \right )(1) = \left ( \mathrm D( \det\circ A)(t) \right )(1) = \left ( \mathrm D \det (A(t)) \circ \mathrm D A(t) \right )(1) \\ &= \left ( \mathrm D \det (A(t)) \right ) \left ( \mathrm D A(t)(1) \right ) = \left ( \mathrm D \det (A(t)) \right ) \left ( \frac { \mathrm d A(t)}{ \mathrm dt} \right ) \\ &= \operatorname {tr} \left ( \left ( \operatorname {adj} A(t) \right ) \frac { \mathrm d A(t)}{ \mathrm dt} \right ). \end {align}

Answer 2

El determinante es un polinomio sobre las entradas de la matriz. Por lo tanto es diferenciable infinitas veces.

Answer 3

El determinante de una matriz cuadrada es un polinomio de sus entradas por lo que es infinitamente diferenciable.

Answer 4

Si no sabes que el determinante es un polinomio en las entradas de la matriz puedes saber que es, si se considera como una función de las columnas (o filas) de la matriz, mulitilineal, por lo tanto $C^{\infty}$ en función de las columnas. Como las matrices dependen suavemente de sus entradas, también dependen suavemente de las columnas.