Mientras leía Heuser (2009) "Lehrbuch der Analysis Teil I" en la página 286, recibí esta pregunta:
Encuentra $$ \lim\limits_ {n \rightarrow \infty } n \Big (1 - \cos\Big ( \frac {1}{n} \Big ) \Big )$$ con la ayuda del Teorema del Valor Medio.
¿Cómo se aplica el Teorema del Valor Medio a este problema?
Existe, por el Teorema del Valor Medio, $c_x \in (0,x)$ tal que $$\frac{1 - \cos x}{x}=\frac{1 -\cos x }{0 - x } = -\frac{d}{dx}\big(\cos c_x\big) = \sin c_x$$
así $$\frac{1 - \cos x}{x} = \sin c_x$$
Considere $n\Big(1 - \cos \Big(\frac{1}{n}\Big)\Big) = \sin c_n$ , donde $ 0 < c_n < \frac{1}{n} $ . Ahora existe $d_x \in (0,x) $ tal que
$$\frac{0 - \sin x}{x} = \frac{0 - \sin x}{0 - x}= -\cos d_x \geq -1 \Rightarrow \sin x \leq x$$
Entonces
$$0 \leq n\Big(\underbrace {1 -\cos \Big(\frac{1}{n}}_{\geq 0}\Big)\Big) = \sin c_n \leq c_n < \frac{1}{n}$$
La aplicación de la Teorema del apretón tenemos
$$\lim_{n \to \infty} n\Big(1 -\cos \Big(\frac{1}{n}\Big)\Big) = 0 $$
Obviamente, $$\left|1-\cos \left(\frac{1}{n} \right) \right| = \left|\cos(0)-\cos \left(\frac{1}{n} \right) \right|.$$ Por el teorema del valor medio existe $a_n \in (0,1/n)$ tal que
$$\left|1-\cos \left(\frac{1}{n} \right) \right| = |\cos'(a_n)| \left( \frac{1}{n} - 0 \right) = \sin(a_n) \frac{1}{n}.$$
Desde $\sin(0)=0$ y $x \mapsto \sin(x)$ es continua, tenemos
$$a_n \to 0 \quad \text{as} \, n \to \infty \implies \sin(a_n) \to 0 \quad \text{as} \, n \to \infty.$$
Combinando ambos hechos, obtenemos
$$\begin{align*} 0 &\leq \liminf_{n \to \infty} \left| n (1-\cos(1/n)) \right| \\ &\leq \limsup_{n \to \infty} \left| n (1-\cos(1/n)) \right| \\ &\leq \limsup_{n \to \infty} \sin(a_n) = 0. \end{align*}$$
(En el último paso, hemos utilizado que $\limsup = \lim$ siempre que exista el límite). En consecuencia,
$$\lim_{n \to \infty} n (1-\cos(1/n))=0.$$
Si $x > 0$ Aplicar el teorema del valor medio al coseno para obtener $1 - \cos x = \sin(c_x)x$ donde $0 < c_x < x$ . Entonces $1 - \cos(1/n) = \sin(c_n)/n$ para todos $n\in \Bbb N$ , donde $c_n$ es una secuencia tal que $0 < c_n < 1/n$ . Así, $$n(1 - \cos(1/n)) = \sin(c_n) \le c_n \le \frac{1}{n} \quad (n\in \Bbb N).$$ De esto se deduce que $\lim_{n\to \infty} n(1 - \cos(1/n)) = 0$ .
Nota: Para establecer $\sin(c_n) \le c_n$ para todos $n$ Utilizar el teorema del valor medio para $\sin x$ , $x > 0$ y la desigualdad $\cos t \le 1$ .
Una pista:
$$\frac{1-\cos x}{x} = \frac{2\sin^2(x/2)}{x} = \frac{x}{2}\cdot\left(\frac{\sin(x/2)}{x/2}\right)^2.\tag{1}$$ Desde $\lim_{z\to 0}\frac{\sin z}{z}=1$ (por la MVT o lo que sea), ¿cuál es el límite del LHS de $(1)$ cuando $x\to 0$ ?
Como alternativa, para cualquier $x\in\mathbb{R}^+$ , $$0\leq\frac{1-\cos x}{x}=\frac{1}{x}\int_{0}^{x}\sin y\,dy\leq\frac{1}{x}\int_{0}^{x}y\,dy = \frac{x}{2},$$ por lo que al dejar $x\to 0^+$ obtenemos que el límite es cero igual que antes.
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