La evaluación de la serie de $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac1{4n^2+2n}$

Question

¿Cómo se evalúa de la siguiente serie:

$$\sum_{n=1}^\infty \frac1{4n^2+2n}$$

Sé que converge por la prueba de comparación. Wolfram Alpha nos da la respuesta $1 - \ln(2)$, pero no veo cómo hacerlo. La serie de Taylor de logaritmo es en ninguna parte cerca de esta serie.

Answer 1

Sugerencia: $\frac 1{4n^2+2n} = \frac 1{2n}-\frac 1{2n+1}$

Answer 2

La reescritura de la serie de la siguiente manera:

$$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{4n^2+2n}=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2n(2n+1)}=\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{1}{2n}-\frac{1}{2n+1}\right)=\sum_{m=2}^\infty\frac{(-1)^m}{m}.$$

Ahora usted puede evaluar usando la serie de Taylor de logaritmo.

Añadido: La tercera igualdad se justifica de la siguiente manera:

Escribir $a_N=\sum_{n=1}^N\left(\dfrac{1}{2n}-\dfrac{1}{2n+1}\right)$$b_M=\sum_{m=2}^M\dfrac{(-1)^m}{m}$. La secuencia de sumas parciales $b_M$ es convergente por el criterio de Leibniz. Además, $a_N = b_{2N+1}$ tiene para todos los $N\in\mathbb N$, es decir, $(a_N)_{N=1}^\infty$ es una larga de $(b_M)_{M=1}^\infty$. Por lo tanto, estas secuencias convergen al mismo límite, en la que se justifica la igualdad.

Answer 3

Sabiendo que la respuesta es de gran ayuda. Recordemos que $$\ln 2=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\cdots.$$ Así $$\ln 2=1-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)-\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{5}\right)-\left(\frac{1}{6}-\frac{1}{7}\right)-\cdots.$$ El "típico" plazo $\dfrac{1}{2k}-\dfrac{1}{2k+1}$ simplifica a $\dfrac{1}{2k(2k+1)}$.

Answer 4

$\gamma\,$: Euler-Mascheroni constante. $\quad\Psi\left(z\right)\,$: Función Digamma.

$$\begin{align} &\\[3mm] \sum_{n = 1}^{\infty}{1 \over 4n^{2} + 2n} &= {1 \over 4}\sum_{n = 1}^{\infty}{1 \over n\left(n + 1/2\right)} = {1 \over 4}\sum_{n = 0}^{\infty}{1 \over \left(n + 1\right)\left(n + 3/2\right)} = {1 \over 4}{\Psi\left(3/2\right) - \Psi\left(1\right) \over 3/2 - 1} \\[3mm]&= {1 \over 2} \left\lbrack\Psi\left(3 \over 2\right) - \Psi\left(1\right)\right\rbrack \\[5mm]& \end{align}$$

$$\Psi\left(3 \más de 2\right) = \underbrace{\Psi\left(1 \over 2\right)} _{-\gamma\ -\ 2\ln\left(2\right)} + {1 \over \left(1/2\right)} = -\gamma + 2\left\lbrack 1 - \ln\left(2\right)\right\rbrack\,, \qquad\qquad \Psi\left(1\right) = -\gamma$$

$$\begin{array}{|c|}\hline\\ {\large\quad\sum_{n = 1}^{\infty}{1 \over 4n^{2} + 2n} = 1 - \ln\left(2\right)\quad} \\ \\ \hline \end{array}$$