En una de mis conferencias, el profesor de poner un montón de ejemplos de los conjuntos en la junta, cosas como el conjunto de todos los seres humanos, conjunto de todos los bien escrito programas en algún lenguaje de programación, el conjunto de todos los enunciados verdaderos de primer orden de la lógica, el conjunto de todas las pruebas de ellos, y el conjunto de todos los conjuntos.
Ahora, para el pasado, él sacó una gran línea a través de él, afirmando que presentó problemas. Me parece que los dos antes de introducir también bastante masiva problemas, pero cuando le pregunté a un amistoso académico, él me restó sin ninguna explicación, diciendo que no habría problemas. Voy a dar mi argumento es la siguiente; tengo la esperanza de que nadie puede decirme que tengo razón, o al menos que me diga cómo estoy equivocado, por lo que puedo entender mejor los errores que cometí.
Ok, así que me parece que para el conjunto de todos los enunciados verdaderos de primer orden que la lógica sea útil para nosotros, sería necesario en primer lugar para nosotros para poder comprobar si un enunciado está en el conjunto, y también que es el complemento de a es el conjunto de todas las declaraciones falsas de primer orden de la lógica.
Ahora, por Gödel formal de la lógica del sistema que puede razonar acerca de la aritmética debe ser incompleta (hay verdades de la aritmética que no puede ser demostrado ser verdadera o falsa en el sistema lógico) o inconsistente (hay instrucciones que puede ser demostrado ser a la vez verdadero y falso).
Así, una manera simple de probar si un enunciado está en el conjunto es definir un programa a prueba. Tenemos nuestra simples leyes de inferencia ($\vee$-introducción, eliminación, etc), así que es bastante fácil, busca en una prueba en FOL ver si el armario está haciendo algo no permitido. Así, tenemos que ir a través de cada cadena de longitud 1, entonces cada cadena de longitud 2, etc, hasta que nos encontramos con una prueba válida de la instrucción; si el programa termina y no hay errores de sintaxis, se sabe que la afirmación es verdadera. Para evitar tener que ir siempre con declaraciones que no están en el conjunto, podemos también comprobar para ver si la negación de la fórmula es verdadera, ya que por la ley de medio excluido, si algo no es verdadero es falso.
Ahora, por Gödel, el programa debe
a) continuar para siempre por las declaraciones de algunos, ya que si FOL es incompleta, no habrá ninguna prueba en el sistema que ciertas instrucciones están en el juego (incluso a pesar de que son verdaderas).
o
b) no serán algunas de las declaraciones para que las pruebas tanto de la afirmación y su negación resultará en una respuesta afirmativa (es decir, FOL es inconsistente).
Esto implica que un útil conjunto que contiene todos los enunciados verdaderos de primer orden de la lógica no existe.
Punto en el cual he pasado mal aquí?
