Siempre hay una forma trivial para recuperar la topología de $\operatorname{Hom}(-,A)$: es la mejor topología que hace que cada elemento de a $\operatorname{Hom}(B,A)$ continua para cada topológico anillo de $B$ (para probar esto, tome $B=A$ y considerar el mapa de identidad). Por supuesto, esto es bastante insatisfactorio debido a que se requiere de nosotros que ya sabe acerca de la topología en todas las $B$s que podríamos enchufe en el functor (incluyendo $A$!). Idealmente, nos gustaría tener una sola $B$ (o algún pequeño número de $B$s) de la cual podemos entender fácilmente y utilizar para recuperar la topología de $A$.
Por desgracia, esto no es posible. Más precisamente, no hay una pequeña subcategoría $C$ de la categoría topológico de anillos tal que la topología en topológico, anillo de $A$ está determinado por la restricción de que el functor $\operatorname{Hom}(-,A)$$C$.
Aquí es un boceto de una prueba. Revisión regular el cardenal $\kappa$ y considera dos topologías en el ordinal $\kappa+1$. La primera topología, lo que da un espacio, voy a llamar a $X$, es el orden usual de la topología. La segunda topología, lo que da un espacio, voy a llamar a $Y$, es el refinamiento de la orden de la topología obtenida mediante la declaración de $\{\kappa\}$ a ser abierto. Tenga en cuenta que tanto $X$ $Y$ son localmente compactos de Hausdorff, y el mapa de identidad $i:Y\to X$ es continua. Además, $i$ es un homeomorphism cuando restringida a cualquier subconjunto de cardinalidad $<\kappa$ (esto se deduce a partir de la regularidad de $\kappa$).
Podemos tomar la libre topológica de los anillos de $F(X)$$F(Y)$$X$$Y$; la topología en estos espacios resulta ser, no es demasiado difícil de entender debido a que $X$ $Y$ son localmente compactos de Hausdorff (es decir, que son sólo colimits de los limitados poderes de $X$ $Y$ que representan todas las posibles formal de sumas y productos de los elementos). Ahora tenemos un inducida por la continua bijective homomorphism $F(i):F(Y)\to F(X)$, cuya inversa no es continua. Sin embargo, $F(i)$ es un homeomorphism en su imagen cuando se limita a cualquier subconjunto de a $F(Y)$ de cardinalidad $<\kappa$, ya que el $i$ es, y cualquier subconjunto de a $F(Y)$ de cardinalidad $<\kappa$ involucra menos de $\kappa$ elementos de $Y$. De ello se deduce que para cualquier topológico anillo de $B$ de cardinalidad $<\kappa$, un homomorphism $f:B\to F(Y)$ es continua iff $F(i)f$ es continua. Es decir, $F(i)$ induce un isomorfismo entre los functors $\operatorname{Hom}(-,F(Y))$ $\operatorname{Hom}(-,F(X))$ cuando se limita a la subcategoría de topológico anillos de cardinalidad $<\kappa$. Desde $F(i)$ no es en realidad un homeomorphism, se deduce que las topologías de $F(X)$ $F(Y)$ no puede ser recuperado a partir del functor $\operatorname{Hom}(-,F(X))\cong \operatorname{Hom}(-,F(Y))$ restringido a topológico anillos de cardinalidad $<\kappa$.
Que respuesta negativa a un lado, aquí es la cosa más cercana que puedo ver a una respuesta positiva. La topología de un espacio de $A$ está determinado por la convergencia de ultrafilters en $A$ (o redes, o los filtros, si prefiere). Dado un ultrafilter $U$$A$, considere el espacio de $A_U=A\cup\{\infty\}$, topologized diciendo cada subconjunto de $A$ es abierto y un conjunto que contenga $\infty$ está abierto iff su intersección con la a$A$$U$. Tenga en cuenta que el espacio de $A_U$ depende sólo en el conjunto subyacente de $A$, no la topología de $A$. El ultrafilter $U$ luego converge a un punto de $x\in A$ fib el mapa de $A_U\to A$ que es la identidad en $A$ y envía $\infty$ $x$es continua.
Ahora si $A$ es topológico, anillo, podemos describir sus convergente ultrafilters en términos de la functor $\operatorname{Hom}(-,A)$ como sigue. Un ultrafilter $U$ $A$ converge a un punto de $x\in A$ fib el anillo único homomorphism $F(A_U)\to A$ a partir de la libre topológico anillo en $A_U$ $A$que es la identidad en $A$ y envía $\infty$$x$$\operatorname{Hom}(F(A_U),A)$. (Esta es una descripción satisfactoria porque la topológico anillo de $F(A_U)$ puede ser construido a partir de conocer sólo el conjunto subyacente de $A$, que puede ser descrito como el Hom-establecer $\operatorname{Hom}(\mathbb{Z}[X],A)$, y podemos decir lo que un elemento de $\operatorname{Hom}(F(A_U),A)$ en puntos teniendo en cuenta la inducida por el mapa de $\operatorname{Hom}(\mathbb{Z}[X],F(A_U))\to \operatorname{Hom}(\mathbb{Z}[X],A)$. El mapa de $F(A_U)\to A$, lo que estamos tratando de hacer realidad sólo depende de la estructura de anillo de $A$, lo que usted dice que usted ya sabe cómo recuperar.)
Por supuesto, esta descripción no es probablemente útil muy a menudo, ya que el topológica de los anillos de $F(A_U)$ no son muy fáciles de pensar.
