puntos racionales de una variedad algebraica

Question

En http://en.wikipedia.org/wiki/Rational_point leemos :

a $K$ -Un punto racional es un punto en una variedad algebraica donde cada coordenada del punto pertenece al campo $K$ . Esto significa que, si la variedad está dada por un conjunto de ecuaciones

$$f_i(x_1, ..., x_n)=0,\; j=1, \cdots, m$$

entonces el $K$ -los puntos racionales son soluciones $(x_1, ..., x_n)\in K^n$ de las ecuaciones

Entiendo que la variedad algebraica es el conjunto de soluciones $(x_1, ..., x_n)\in K^n$ de las ecuaciones por lo que por definición todos los puntos de la variedad algebraica son $K$ -puntos racionales.. ¿me equivoco? ¿entonces qué sentido tiene definir puntos racionales si todos los puntos de la variedad alg son racionales?

Answer 1

La noción de $K$ -el punto racional depende en gran medida del campo $K$ . Por ejemplo, consideremos la variedad algebraica dada como el conjunto cero del polinomio $x^2+y^2+1\in \mathbb{C}[x,y]$ . Tenga en cuenta que esta variedad no tiene $\mathbb{R}$ -puntos racionales.

Ejercicio 1 : Demostrar que si consideramos la variedad algebraica dada como el conjunto cero del polinomio $x^2+y^2-1\in \mathbb{R}[x,y]$ entonces esta variedad tiene infinitas $\mathbb{Q}$ -puntos racionales.

A la luz de Ejercicio 1 , obsérvese que el conjunto de $\mathbb{Q}$ -de esta variedad es un subconjunto propio del conjunto de $\mathbb{R}$ -puntos racionales de esta variedad.

En general, si $X$ es un esquema sobre un campo $K$ entonces podemos hablar del conjunto de todos los $K$ -puntos racionales de $X$ . Tenga en cuenta que el $K$ -puntos racionales de $X$ son precisamente los puntos de $X$ en el que el campo de residuos del anillo local en ese punto es isomorfo a $K$ .

Definición : Dejemos que $\pi:X\to S$ ser un $S$ -esquema. A $\textit{section}$ de $X$ es un morfismo de $S$ -esquemas $\sigma:S\to X$ . Esto equivale a decir que $\pi\circ\sigma=\text{Id}_S$ . El conjunto de secciones de $X$ se denota por $X(S)$ (y también por $X(A)$ si $S=\text{Spec}(A))$ ).

Ejercicio 2 : Demostrar que si $X$ es un esquema sobre un campo $K$ , entonces podemos identificar $X(K)$ con el conjunto de todos los $K$ -puntos racionales del esquema $X$ .

Dejemos que $K$ sea un campo y que $X=\text{Spec }K[T_1,\dots,T_n]/I$ sea un esquema afín sobre $K$ . Sea $Z$ sea el conjunto cero de algún polinomio $P\in I$ . Es natural preguntarse si nuestra noción de " $K$ -punto racional de $X$ "en el sentido teórico del esquema concuerda con nuestra noción ingenua de un $K$ -punto racional del conjunto algebraico definido por $P$ .

Ejercicio 3 : Demostrar que tenemos una biyección canónica $Z\to X(K)$ donde $X(K)$ denota el conjunto de todos los $K$ -puntos racionales del esquema $X$ .

Answer 2

Una variedad algebraica (sobre un campo no cerrado algebraicamente) es "algo más que un conjunto de puntos". Si X es una variedad algebraica sobre $K$ , se puede dar sentido al conjunto $X(L)$ de $L$ -puntos para cualquier extensión de campo $L / K$ .

Por ejemplo, consideremos la subvariedad vacía de $\mathbb{Q}^1$ (definido, si se quiere, por la ecuación $1 = 0$ ) y la subvariedad definida por $X^2 + 1 = 0$ . Ambos no tienen $\mathbb{Q}$ -puntos, pero su $\mathbb{C}$ ¡-los puntos son muy diferentes!

Si quiere pensar en una variedad como un conjunto de puntos, lo mejor es pensar en ella como un conjunto de puntos en $\overline{K}^n$ , donde $\overline{K}$ es el cierre algebraico de $K$ . Entonces se puede preguntar con sentido cuáles de ellas están contenidas en $K^n$ .

Answer 3

Por ejemplo, Hartshorne define la variedad afín como el conjunto de soluciones en $K^n$ sólo en el caso de que $K$ es algebraicamente cerrado. Más bien creo que esto es lo normal. Sin esta suposición, muchas de las cosas básicas se pierden. Por ejemplo, el Nullstellensatz. Como ejemplo extremo, ¿te gustaría tratar el origen, un único punto, como el conjunto de soluciones de la ecuación $x^2+y^2=0$ sobre los reales, cuando "sabemos" que el conjunto de soluciones (afines) es realmente la unión de las dos líneas $x=iy$ y $x=-iy$ .

Puede estudiar objetos geométricos asociados a ecuaciones polinómicas (con coeficientes en $K$ ) sobre un campo cerrado no algebraico $K$ pero entonces hay que utilizar el lenguaje de los esquemas o un sustituto adecuado. Entonces obtenemos "puntos no racionales" o puntos de grado $>1$ . Esta forma de contabilizar (llevar la cuenta del grado de extensión del campo $K(x_1,\ldots,x_n)/K$ donde las coordenadas de una solución son $(x_1,\ldots,x_n)$ ) nos da respuestas uniformes a varias preguntas. Por ejemplo, consideremos la curva $x^2+y^2=1$ sobre el campo de los números racionales. Superficialmente parecería que hay 2 puntos en esa curva tales que $x=3/5$ , a saber $(x,y)=(3/5,4/5)$ y $(3/5,-4/5)$ pero no hay puntos con $x$ -coordenada igual a $1/2$ . Con esta contabilidad diremos que hay un punto de grado dos con $x=1/2$ , es decir, que con $y=\pm\sqrt{3}/2$ . Aunque esto pueda parecer también dos puntos, se trata como un único punto de grado dos. Esto se debe a que no podemos distinguir entre los dos puntos en el sentido de que si $P(u,v)$ es polinómica con coeficientes racionales, entonces $P(1/2,\sqrt3/2)$ y $P(1/2,-\sqrt3/2)$ son ambos cero o ninguno lo es. Los puntos de ramificación (=ramificación) provocan otro cambio en la forma de contar, pero al final obtenemos `dos puntos' con un $x$ -Coordinar con la contabilidad correspondiente.

Básicamente, la cuestión es que algunos campos son demasiado pequeños para contarnos toda la historia del conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones polinómicas. Puede que no haya enumerado las razones más naturales. Esperen muchas respuestas a esta pregunta.