¿Cuál es la diferencia entre los derivados parciales y los normales?

Question

Tengo una pregunta aclaratoria sobre esta cuestión:

¿Cuál es la diferencia entre $d$ y $ \partial $ ?

Entiendo la idea de que $ \frac {d}{dx}$ es la derivada en la que se supone que todas las variables son funciones de otras variables, mientras que con $ \frac { \partial }{ \partial x}$ se asume que $x$ es la única variable y todo lo demás es una constante (como se indica en una de las respuestas).

Ejemplo 1 : Si $z = xa + x$ entonces supongo que $$ \frac { \partial z}{ \partial x} = a + 1 $$ y $$ \frac {d z}{d x} = a + x \frac {da}{dx} + 1. $$ desde ahora $a$ debe considerarse una función.

Cuando en el cálculo 1 tenemos $y = ax^2 + bx + c$ entonces técnicamente deberíamos usar $ \partial $ como estamos asumiendo $a, b$ y $c$ son constantes?

¿Esto es correcto?

Ejemplo 2 : Tal vez lo que me confunde es que cuando hacemos diferenciación implícita usamos $d$ . Así que si $$ x^2 + y^2 = 1 $$ y luego tomar $ \frac {d}{dx}$ da $$ 2x + 2y \frac {dy}{dx} = 0 $$ otra vez porque $y$ se considera una función.

¿Cómo podría tomar $ \frac { \partial }{ \partial x}$ de una ecuación como $x^2 + y^2 =1$ ¿Trabajo? ¿Tiene sentido?

Ejemplo 3 : ¿Es posible que usar $ \partial $ y $d$ puede dar lo mismo? Si, por ejemplo $y = x^2$ ¿Tiene sentido decir que $$ \frac { \partial }{ \partial x} y = 2x? $$

Mi pregunta general, supongo, es cómo las notaciones de derivados parciales vs. derivados ordinarios son formalmente definido. Estoy buscando un poco más de fondo.

Answer 1

Algunas cosas clave que hay que recordar sobre las derivadas parciales son:

• Es necesario tener una función de una o más variables.
• Hay que tener muy claro cuál es esa función.
• Sólo se pueden tomar derivadas parciales de esa función con respecto a cada una de las variables de las que es función.

Así que para su Ejemplo 1, $z = xa + x$ Si lo que quiere definir es $z$ en función de dos variables, $$z = f(x, a) = xa + x,$$ entonces $\frac{\partial z}{\partial x} = a + 1$ y $\frac{dz}{dx} = a + 1 + x\frac{da}{dx},$ como usted supuso, aunque también podrías haber obtenido ese último resultado considerando $a$ en función función de $x$ y aplicando la regla de la cadena.

Pero cuando escribimos algo como $y = ax^2 + bx + c,$ y decimos explícitamente que $a$ , $b$ y $c$ son constantes (posiblemente arbitrarias), $y$ es realmente sólo una función de una variable: $$y = g(x) = ax^2 + bx + c.$$ Claro, se puede decir que $\frac{\partial y}{\partial x}$ es lo que ocurre cuando se varía $x$ mientras sostiene $a$ , $b$ y $c$ constante, pero eso es tan significativo como decir que varía $x$ mientras se mantiene el número $3$ constante.

Supongo que técnicamente $\frac{\partial y}{\partial x}$ se define incluso si $y$ es una función de una sola variable de $x$ , pero entonces sólo sería $\frac{dy}{dx}$ (el derivado ordinario), y no recuerdo haber visto tal cosa escrita como una derivada parcial. No permitiría hacer nada que no se pueda hacer con la derivada ordinaria, y podría confundir a la gente (que podría tratar de adivinar qué otras variables $y$ es una función de).

El párrafo anterior implica que la respuesta a su ejemplo 3 es "sí". También insinúa por qué casi escribí "una función de dos o más variables" como parte del primer requisito para usar derivadas parciales. Técnicamente creo que sólo Necesito una función de una o más variables, pero debería quiere una función de al menos dos variables antes de pensar en tomar derivadas parciales.

Para el ejemplo 2, donde tenemos $x^2 + y^2 = 1$ no es obvio cuál es la función de la que estaríamos tomando derivadas parciales. O bien $x$ o $y$ podría ser una función de la otra. (La función estaría definida sólo sobre un dominio limitado y produciría sólo algunos de los puntos que satisfacen la ecuación, pero todavía puede ser útil para hacer algún análisis en esas condiciones). Si además de la ecuación escribes algo que deje claro que (digamos) $y$ es una función de $x$ , dando una idea suficientemente clara que de las posibles funciones de $x$ te refieres, entonces creo que técnicamente podrías podría escribir $\frac{\partial y}{\partial x}$ y puede que incluso encuentres que $\frac{\partial y}{\partial x} = 2x$ pero, de nuevo, esto es un montón de problemas y confusión para obtener un resultado que podrías obtener simplemente usando derivados ordinarios.

Por otro lado, supongamos que decimos que $$h(x,y) = x^2 + y^2 - 1,$$ y nos interesan los puntos que satisfacen $x^2 + y^2 = 1$ , es decir, donde $h(x,y) = 0$ . Ahora tenemos una función de múltiples variables, por lo que podemos hacer cosas interesantes cosas interesantes con las derivadas parciales, como calcular $\frac{\partial h}{\partial x}$ y $\frac{\partial h}{\partial y}$ y quizás usarlos para buscar trayectorias en el $x,y$ plano a lo largo del cual $h$ es constante. Bien, realmente no necesitamos derivadas parciales para saber que esas trayectorias correrán a lo largo de arcos circulares, pero podríamos tener alguna otra función de dos variables donde la respuesta no es tan obvia.

Answer 2

Espero que esto responda a su pregunta.

La notación de derivada parcial se utiliza para especificar la derivada de una función de más de una variable con respecto a una de sus variables.

Por ejemplo, sea y una función de 3 variables tal que $y(s, t, r) = r^2 - srt$

$$\frac{\partial y}{\partial r} = 2r-st$$

$\frac{d}{dx}$ se utiliza cuando la función a diferenciar es de una sola variable, por ejemplo $y(x) = x^2 \ \implies \frac{dy}{dx} = 2x$

Espero que esto te aclare un poco.

En realidad, ambos significan lo mismo, pero uno se utiliza en el contexto del cálculo multivariable, mientras que el otro se reserva para el cálculo univariable.

Answer 3

La etiqueta (cálculo de variaciones) parece no ser la más popular, así que tal vez necesite algo más de publicidad (-:

• Intuición detrás del principio variacional

Serio. Las ecuaciones de Euler-Lagrange asociadas al cálculo de variaciones proporcionan un ejemplo, donde ambos se trata de una diferenciación parcial y común. Por eso puede ayudar aquí.
Sea dada una curva $\vec{q}(t)$ y una función de valor real $L$ con los siguientes argumentos:
esta curva, la derivada temporal $\dot{\vec{q}}(t)$ de la curva y el tiempo $t$ sí mismo.
Minimizar la siguiente integral como función/función de la curva $\vec{q}(t)$ : $$ W\left(\vec{q},\dot{\vec{q}}\right) = \int_{t_1}^{t_2} L\left(\vec{q},\dot{\vec{q}},t\right) dt = \mbox{minimum} $$ En la referencia se demuestra que la curva que minimiza la integral $W$ viene dada por el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales parciales comunes mixtas, una para cada una de las coordenadas $q_k(t)$ de la curva $\vec{q}(t)$ : $$ \frac{\partial L}{\partial q_k} - \frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k}\right) = 0 $$ Se trata de las conocidas ecuaciones de Euler-Lagrange. Se especifican para el siguiente problema: encontrar todas las curvas en el plano euclidiano para las que el longitud $W$ entre dos puntos finales dados es mínimo. Esto hace que $\vec{q} = (x,y)$ y $\dot{\vec{q}} = (\dot{x},\dot{y})$ en: $$ W = \int_{t_1}^{t_2} L(\dot{x},\dot{y}) dt = \mbox{minimal} \qquad \mbox{with} \quad L(\dot{x},\dot{y}) = \sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2} $$ Dando para las ecuaciones de Euler-Lagrange: $$ \frac{\partial L}{\partial x} - \frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right) = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} - \frac{d}{dt} \left(\frac{\partial L}{\partial \dot{y}}\right) = 0 $$ Derivados parciales . Obviamente: $$ \frac{\partial L}{\partial x} = \frac{\partial L}{\partial y} = 0 $$ Algo menos evidente: $$ \frac{\partial \sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2}}{\partial \dot{x}} = \frac{\dot{x}}{\sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2}} \\ \frac{\partial \sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2}}{\partial \dot{y}} = \frac{\dot{y}}{\sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2}} $$ Derivados comunes : $$ \frac{d}{dt} \frac{\dot{x}}{\sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2}} = \frac{ \ddot{x} \sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2} - \dot{x} \left( \dot{x} \ddot{x} + \dot{y} \ddot{y} \right) / \sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2}} {\left(\sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2}\right)^2} = \dot{y} \frac{\dot{y}\ddot{x} - \dot{x}\ddot{y}}{\left(\dot{x}^2 + \dot{y}^2\right)^{3/2}} = - \kappa \, \dot{y} \\ \frac{d}{dt} \frac{\dot{y}}{\sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2}} = \frac{ \ddot{y} \sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2} - \dot{y} \left( \dot{x} \ddot{x} + \dot{y} \ddot{y} \right) / \sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2}} {\left(\sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2}\right)^2} = \dot{x} \frac{\dot{x}\ddot{y} - \dot{y}\ddot{x}}{\left(\dot{x}^2 + \dot{y}^2\right)^{3/2}} = + \kappa \, \dot{x} $$ Dónde $\kappa$ es reconocido como el curvatura . Las ecuaciones de Euler-Lagrange dicen, pues, que $- \kappa\, \dot{x} = +\kappa \, \dot{y} = 0$ con sólo puede cumplirse si $\kappa = 0$ la curvatura es cero.
En efecto, el camino más corto entre dos puntos del plano euclidiano es una línea recta.

Answer 4

Para una función $V(r,h)=πr^2h$ que es el volumen de un cilindro de radio $r$ y la altura $h$ , $V$ depende de dos cantidades, los valores de $r$ y $h$ que son ambas variables. $V(r,h)$ es nuestra función aquí.

Cuando tomamos la derivada de $V(r,h)$ con respecto a (digamos) $r$ medimos la sensibilidad de la función al cambio de uno de sus parámetros (las variables independientes). Sin embargo, no sabemos qué hacen las demás variables independientes, pueden cambiar o no. Siguen siendo variables (desconocidas) para nosotros y las tratamos como tales.

En cambio, cuando tomamos la derivada parcial de la función $V(r,h)$ con respecto a $r$ En este caso, también medimos la sensibilidad de la función al cambio cuando uno de sus parámetros cambia, pero las otras variables se mantienen constantes, por lo que las tratamos como números.

Así es como lo aprendí.

Answer 5

La derivada parcial se utiliza cuando la función en cuestión depende de más de una variable. Consideremos la siguiente función: $$y = r + s + t$$ Dónde $r$ , $s$ , $t$ son todas variables. En esta pregunta, sería inútil utilizar la derivada normal. Por lo tanto, utilizamos la derivada parcial, en la que todas las variables, excepto una, se consideran constantes.

A continuación, las preguntas que ha planteado: Ejemplo 1: En las ecuaciones que diferenciamos, la función dada está en términos de $x$ . Todas las demás son constantes, que no pueden variar para la ecuación dada. Por lo tanto, no tenemos necesidad de utilizar la derivada parcial. Sólo podemos diferenciar con respecto a un término que varía.

Ejemplo 2: Tomar la derivada parcial de $x^2 + y^2 = 1$ no tiene sentido ya que la función es una relación directa entre $y$ y $x$ . Sin embargo, si se toma la derivada parcial con respecto a $x$ , se obtendría: $2x = 0$ Como $y$ se considerará una constante.

Ejemplo 3: No, tu ejemplo no tiene sentido. Consulte los ejemplos anteriores.