Ni siquiera se sabe si $\pi+e$ es racional, y lo mismo ocurre con otras expresiones similares que implican $\pi$ y $e$ Pero, ¿tiene esto alguna repercusión?
Si se demostrara, por ejemplo, que $\pi=ae$ o $\pi=a+e$ para un número racional $a$ ¿habría alguna consecuencia más allá de que sea un poco raro?
Si $\pi e$ fueran racionales, los puntos límite de $\exp(n! i)$ como $n \to \infty$ sería un conjunto finito de raíces de la unidad.
EDITAR: Tenga en cuenta que de $e = \sum_j 1/j!$ obtenemos $n!e = (integer) + r$ donde $$0 < r = \sum_{j=n+1}^\infty \dfrac{n!}{j!} < \sum_{k=1}^\infty \dfrac{1}{(n+1)^k} = \dfrac{1}{n}$$ así que $\exp(2 i n!\pi e) \to 1 $ . Si $\pi e = a/b$ donde $a$ y $b$ son enteros positivos, entonces $\exp(2in! a) = (\exp(2in! \pi e))^b \to 1$ por lo que cualquier punto límite de $\exp(in!)$ es un $2a$ La raíz de la unidad.
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No tiene mucha relación con la racionalidad, pero $e^{i\pi} = -1$ .
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Como ocurre con muchos de estos tipos de preguntas en los que el resultado en sí no es tan sorprendente, se trata más bien de las matemáticas desarrolladas para responder a la pregunta. Probablemente nos daría una mejor manera de determinar las relaciones entre los números trascendentales.
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@CameronWilliams: No, sabes que al menos uno de $\pi + e$ y $\pi - e$ es irracional . Es poco probable que ninguno de los dos sea racional. También es cierto que al menos uno de $\pi + e$ y $\pi e$ es irracional.
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@RobertIsrael Oh doh. Gracias por eso. He eliminado el estúpido comentario.
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¿Qué pasa con $$\frac\pi\pi=e\cdot\left(\frac{1}{e}\right)$$