$x,y,z >0$ probar $$ \frac {x^x}{x+y}+ \frac {y^y}{y+z}+ \frac {z^z}{z+x} \geqslant \frac32 $$
Tengo una solución para esta hermosa y elegante desigualdad. Estoy publicando esta desigualdad para compartir y ver otras soluciones de todos en MSE.
Ya que algunos de ustedes me pidieron mi solución, utilicé las siguientes estimaciones $$x^x \geqslant \frac12 \left (x^2+1 \right )$$
Probar el resto de esta desigualdad es muy simple.
Método 1: $$ \sum_ {cyc} \frac {x^x}{x+y} \geqslant \frac12\sum_ {cyc} \frac {x^2+1}{x+y} \geqslant \frac12 \left ( \frac {(x+y+z)^2}{2(x+y+z)}+ \sum_ {cyc} \frac {1}{x+y} \right ) \geqslant \frac12 \sum_ {cyc} \left ( \frac {x+y}{4}+ \frac {1}{x+y} \right ) \geqslant \frac12 \sum_ {cyc} 2 \cdot\sqrt { \frac {x+y}{4} \cdot \frac {1}{x+y}} \geqslant \frac32 $$
Método 2:
$$ \sum_ {cyc} \frac {x^x}{x+y} \geqslant \frac12 \sum_ {cyc} \frac {x^2+1}{x+y} \geqslant \frac32 \sqrt [3]{ \frac {(x^2+1)(y^2+1)(z^2+1)}{(x+y)(y+z)(z+x)}} \geqslant \frac32 $$ Es porque el C-S produce $$(x^2+1)(y^2+1) \geqslant (x+y)^2$$ así que $$ \frac {(x^2+1)(y^2+1)(z^2+1)}{(x+y)(y+z)(z+x)} \geqslant 1$$
Método 3:
Fíjate en que $$ \sum_ {cyc} \frac {x^2+1}{x+y}= \sum_ {cyc} \frac {y^2+1}{x+y}$$ Por lo tanto $$ \sum_ {cyc} \frac {x^x}{x+y} \geqslant \frac12 \sum_ {cyc} \frac {x^2+1}{x+y}= \frac14\sum_ {cyc} \frac {x^2+y^2+2}{x+y} \geqslant\frac14\sum_ {cyc} \frac { \frac {(x+y)^2}{2}+2}{x+y}$$$$ = \frac14 \sum_ {cyc} \left ( \frac {x+y}{2}+ \frac {2}{x+y} \right ) \geqslant \frac14 \sum_ {cyc}2 = \frac32 $$
¿Puedes encontrar una solución diferente que no emplee la estimación $x^x \geqslant \frac12 (x^2+1)$ ?
Actualización 1
La solución de usuario260822 no es correcto. Esta no es una desigualdad de Nesbitt. Tenemos $$ \frac {x}{x+y}+ \frac {y}{y+z}+ \frac {z}{z+x} > 1 $$ (no $ \frac32 $ )
Actualización 2
Otra pregunta similar que publiqué hace unas semanas
Desigualdad no convencional $ \frac {x^x}{|x-y|}+ \frac {y^y}{|y-z|}+ \frac {z^z}{|z-x|} > \frac72 $
Por favor, ayúdame. Gracias.
