¿Anillo sin Ley distributiva?

Question

Recientemente me encontré con una operación binaria (en una no algebraicas contexto - es una manera de organizar una cierta actualización de la log-verosimilitud-ratios) y estaba de brazos cruzados preguntándose si es cualquier tipo de razonable algebraicas objeto. La respuesta puede ser no, pero satisface algunas de las propiedades que se parecen a los de un anillo.

Deje $\boxplus \colon \mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ser dada por $a \boxplus b = \log\left(\frac{1+e^{a+b}}{e^a+e^b}\right)$.

Es un ejercicio divertido para comprobar las siguientes propiedades:

1. $a\boxplus b=b \boxplus a$
2. $a\boxplus b=0$ fib $a=0$ o $b=0$
3. $a \boxplus (-b) = (-a) \boxplus b= -(a \boxplus b)$
4. $a \boxplus \infty = a$, en el sentido de que $\displaystyle \lim_{x \to \infty} a\boxplus x=a$
5. $(a\boxplus b) \boxplus c=a \boxplus (b \boxplus c)$

Así que analizando estas propiedades pensé que tal vez $(\mathbb{R},+,\boxplus)$ es un anillo conmutativo sin identidad. Pero no satisfacen la ley distributiva. Hay algo que puede decirse acerca de una estructura de este tipo?

Edit: Después de un comentario útil de Bill me gustaría señalar que de estas propiedades encuentro 'ringlike'. Propiedad 3 es un enunciado que es verdadero en un anillo y no tiene sentido sólo en el semigroup $(\mathbb{R},\boxplus)$. Propiedad 2 es la definición de un integrante del dominio (si se trataba de un anillo). Me parece, pues, que habiendo $-$ $0$ me pone en la mente de conectar $\boxplus$$+$. Pero no sé si esto es necesario: ¿hay alguna teoría de semigroups con un extra de unario operador de negación? Tal vez eso es todo lo que necesito.

Answer 1

Gracias a Tegiri Nenashi por su comentario que sugiere el uso de operaciones distintas de las de más. Esta respuesta va a usar max. Si deseamos tener nuestra $\boxplus$ ser la operación multiplicativa en un semiring , a continuación, la identidad aditiva de las necesidades de la aniquilación de la semiring multiplicatively, por lo tanto la identidad aditiva debe ser $0$. Así que el aditivo operación, $\max$, debe aplicarse en no negativos reales solamente. Si queremos que la identidad multiplicativa, $\infty$, para estar en el semiring también debemos tomar el conjunto subyacente a ser $[0,\infty]$.

Inspirado por razonable intuiciones y la limitación de los argumentos de definir $\max(a,\infty)=\infty$ $a\boxplus \infty =a$ todos los $a \in [0,\infty]$.

Entonces yo reclamo que $([0,\infty],\max,0,\boxplus,\infty)$ es un conmutativa semiring. Es fácil comprobar que $([0,\infty],\max,0)$ es un conmutativa monoid con identidad $0$. Las propiedades 1, 4 y 5 muestran que $([0,\infty],\boxplus,\infty)$ es un conmutativa monoid con identidad $\infty$. Propiedad 2 muestra que $0$ aniquila $[0,\infty]$.

Por último tenemos la ley distributiva $$a \boxplus \max(b,c)=\max(a\boxplus b,a\boxplus c).$$

Sin pérdida de generalidad $b \leq c$, por lo que tenemos que mostrar que $a \boxplus c=\max(a\boxplus b,a\boxplus c)$ es decir $a\boxplus b \leq a\boxplus c$. Si $a=0$ o $a=\infty$ o $b=c$ esto es verdad, de lo contrario necesitamos $$\frac{1+e^{a+b}}{e^a+e^b}\leq \frac{1+e^{a+c}}{e^a+e^c}$$ es decir, $$e^a+e^c+e^{2a+b}+e^{a+b+c} \leq e^a+e^b+e^{2a+c}+e^{a+b+c}$$ es decir, $$e^{2a}(e^b-e^c) \leq e^b-e^c.$$ Pero $e^b-e^c < 0$, por lo que nuestra desigualdad es equivalente a $e^{2a} \geq 1$, lo cual es cierto.