Detección de compacidad del anillo de funciones lisas

Question

Dado un % colector liso $M$, ¿hay alguna propiedad teórica de anillo (preferiblemente no mencionar $M$) que $C^{\infty}(M)$ tiene esta propiedad solamente si $M$ es compacto?

Answer 1

Como Dmitri Pavlov reclamos $M$ compacto iff todos ideales máximos de $C^\infty(M)$ de codimensión $1$. Para más acerca de las propiedades algebraicas de $C^\infty(M)$ mirar este este MO.

Answer 2

La siguiente es una respuesta de cortesía de un mejor amigo:

$M$ es compacto si cada ideal maximal en $C^{\infty}(M)$ es finitely generado

Si $M$ es compacto, se puede demostrar que cada ideal maximal es el núcleo de algunos de evaluación del mapa y el uso de Hadamard del Lema para mostrar que es finitely generado, como se hizo en la respuesta aquí. Por el contrario, si $M$ no es compacto, uno puede encontrar un ideal maximal no finitely generado, como se indica en el Ejercicio 8.20 en Nestruev 'Suave Colectores y Observables.'