¿Cómo uno para refutar este argumento ultrafinitist?

Question

De La Wikipedia:

Edward Nelson criticado la concepción clásica de los números naturales debido a la circularidad de la definición. En el clásico de las matemáticas los números naturales se definen como $0$ y los números obtenidos por el proceso iterativo de aplicaciones de la función sucesor a $0$. Pero el concepto de número natural es ya que se asume para la iteración. En otras palabras, para obtener un número como $2\uparrow\uparrow\uparrow 6$ uno necesita para realizar la función sucesor de forma iterativa, de hecho, exactamente $2\uparrow\uparrow\uparrow 6$ a veces $0$.

Como la mayoría de la gente, yo soy no un ultrafinitist. Sin embargo, yo no sé muy bien cómo refutar este argumento. ¿Cuáles son algunas de las críticas de ella?

Answer 1

Yo soy agnóstico acerca de la mayoría de las preguntas de la filosofía de las matemáticas, pero en este caso, creo que Nelson argumento es incoherente: una primitiva pastor que no tiene ningún concepto abstracto de número puede contar ovejas que se amontonaron en un pliegue haciendo marcas en un palo y contar las ovejas de nuevo por el cruce de las marcas (y esta es la forma en que nuestros conceptos humanos de los números cardinales probablemente se desarrolló). No hay circularidad involucrados.

Para hablar de manera significativa acerca de las notaciones como $2 \uparrow\uparrow\uparrow 6$, debe de haber admitido una noción de definición de recursividad que (como ultrafinitist) Nelson no puede aceptar. Parece ser yo para ser incoherente para un ultrafinitist decir nada más que "yo no puedo aceptar que una primitiva pastor nunca podría tener suficiente palos".

Answer 2

Una media aritmética de la teoría (como la de Peano) no define lo que entendemos por números naturales, es sólo una axiomática de la teoría a través de una formal deductivo sistema, la circularidad, que sólo aparece cuando tratamos de asociar a cada número natural a un término específico del lenguaje formal de la teoría se basa en que, debido a comunicar que la asociación nos debería decir algo así como "el término asociado a la número DOS es el resultado de aplicar DOS veces la función sucesor para el cerrado el plazo indicado por el cero símbolo". Aquí es donde es necesario distinguir claramente que las proposiciones pertenecen a la teoría y cuáles pertenecen a la meta-teoría. Cuando usted dice "refutar" no significa una refutación formal de Nelson del argumento, ya que no es un argumento formal, por lo que no hay forma clara y objetiva para determinar si su argumento es válido (no estamos hablando acerca de la validez lógico)

Answer 3

Este argumento es malo si se tiene la intención de implicar que el clásico de la construcción no puede ser salvo por argumentando con más cuidado.

Es posible tener una teoría razonable de la aritmética sin el axioma de infinitud. Es sólo que la clase de los números naturales no necesariamente forman un conjunto.

Si usted tiene el axioma de infinitud, usted puede definir los números naturales como sigue. Decir un conjunto $A$ es inductivo si: (i) $\varnothing \in A$; y (ii) siempre que $x \in A$ tenemos $x^{+} \in A$ donde $x^{+}$ se define como $x \cup \{x\}$. La versión más común del axioma de infinitud es "existe un conjunto inductivo." A continuación, puede definir un conjunto $n$ a ser un número natural si es que pertenece a cada conjunto inductivo. El axioma del infinito implica entonces que la clase de todos los números naturales, de hecho, forma un conjunto. Escribimos $0 = \varnothing$, $1 = 0^{+} = \{0\}$, $2 = 1^{+} = \{0,1\}$, $3 = 2^{+} = \{0,1,2\}$,... (Si usted acaba de ver en esta última línea, entonces las cosas se ven circular-pero aquí estoy sólo nombrar los números, no de definir el concepto de número.)

Si el axioma de infinitud es falso, entonces, de acuerdo a la definición anterior, todo es un número natural. Para un enfoque alternativo es necesario si eres agnóstico sobre el axioma de infinitud. Una posible definición sería como sigue.

Un conjunto $n$ es llamado un número natural si

• cualquiera de las $n = \varnothing$ o $\varnothing \in n$, y
• asumir $A \subseteq n^{+}$, $\varnothing \in A$, y siempre $x \in A - \{n\}$,$x^{+} \in A$; a continuación,$A = n^{+}$.

Tenga en cuenta que esta definición no es del todo circular, ya que no implica el concepto de número natural en cualquier forma. Además, el orden de la relación de $<$ y las operaciones de $+$ $\times$ puede ser definida y sus propiedades básicas probar usando sólo se establece en la teoría de los axiomas.

Simplemente, los números naturales se pueden definir y aritmética desarrollado, incluso en ausencia de el axioma del infinito, siempre se realizan determinados cambios en la forma en que los números naturales son definidos.

Answer 4

Dos counterarguments pude pensar son:

1. El mismo argumento podría ir con un $1$, $2$% y $3$ y creo que la mayoría de ultrafinitists creo que números como $1$, $2$ y $3$.
2. Por otro lado el número $n$ es $n-1$ veces el sucesor de $1$, así que si $n-1$ y $1$ existen, $n$ debe existir también utilizando este argumento.

Answer 5

Nelson de la crítica es infundada. Los axiomas de Peano son sólo una lista de las propiedades esenciales del conjunto de los números naturales, esenciales en el sentido de que todas las demás propiedades conocidas puede, en teoría, ser derivados a partir de estas pocas propiedades. No hay nada de "circular" acerca de ellos. Tanto éxito han tenido en este sentido, que estas propiedades esenciales han llegado a definir el conjunto de los números naturales $\mathbb{N}$.

Los números naturales y muchas de sus propiedades se han conocido durante milenios a través de diversas culturas. Puede cualquier persona razonable negar que:

(1) $0$ es un número natural.

(2) a Cada número natural tiene un único sucesor.

(3) Diferentes números naturales no tienen el mismo sucesor.

(4) Ningún número natural tiene un sucesor que es $0$.

Ahora, algunos podrían objetar sobre el 5º axioma, el principio de inducción matemática:

(5) Para todos los subconjuntos de a $P \subset\mathbb{N}$, si (a) $0\in P$, y (b) para todos los $x\in P$, también tenemos el sucesor de $x$$P$,$P=\mathbb{N}$.

Con sólo un poco más de reflexión, esto también pasa por razonable de la propiedad de que el conjunto de los números naturales. No hay nada extraño o "antinatural". De hecho, la inducción puede ser demostrado en algún subconjunto de cualquier conjunto no vacío $X$.

Prueba de dibujo: Vamos a $X$ ser arbitraria, conjunto no vacío. Existe al menos una función de $f: X \to X$, es decir, la función identidad. Dada cualquier función de $f:X\to X$$x_0\in X$, podemos construir un subconjunto $N\subset X$ tal que $N=\{x_0, f(x_0) f(f(x_0)), \cdots \}$ y muestran que la inducción tiene en $N$, es decir que:

Para todos los subconjuntos de a $P \subset N$, si (a) $0\in P$, y (b) para todos los $x\in P$, también tenemos el sucesor de $x$$P$,$P=N$.

Ver mi prueba formal en http://www.dcproof.com/InductionMinRequirementsV2.htm