Integridad de una finita suma directa de subespacios cerrados de $L^2$

Question

Que $X_1$ $X_2$ ser variables real-valued integrable cuadrado al azar definidas en un espacio de probabilidad $(\Omega, {\cal F},P)$. $i=1,2$, Establecer $$ A_i := \{g(X_i)\in L^2 \mid g \text{ is some Borel measurable function with } \mathbb{E}g(X_i)=0 \} .$$ de % que $A_i$ forma un subespacio de Hilbert de $L^2(\Omega, {\cal F},P)$ cada $i$ nota.

Mi pregunta: hace $$A_1 + A_2 := \{g_1(X_1) + g_2(X_2): g_i(X_i)\in A_i, \; i=1,2\}$$ equipped with the norm $||\cdot|| ¿_ {L ^ 2} $ also form a Hilbert subspace of $L ^ 2 (\Omega, {\cal F}, P) $?

Answer 1

Esto no es una respuesta. Sin embargo, como Byron puntos, la suma directa de dos cerrados, no ortogonal subespacios de un espacio de Hilbert no necesita ser cerrado. Para otros que piensan acerca de esta cuestión, he aquí un ejemplo de este fenómeno.

Deje $\mathcal{H}$ ser un infinito-dimensional espacio de Hilbert, y deje $\{\textbf{e}_1,\textbf{e}_2,\ldots\}$ $\{\textbf{f}_1,\textbf{f}_2,\ldots\}$ dos mutuamente ortogonales secuencias de vectores ortonormales en $\mathcal{H}$. Vamos $$ U \;=\; \text{cierre}\bigl(\text{Span}\{\textbf{e}_n \mediados n\in\mathbb{N}\}\bigr) $$ y vamos a $$ V \;=\; \text{cierre}\bigl(\text{Span}\bigl\{\textbf{e}_n+\tfrac{1}{n}\textbf{f}_n \mediados n\in\mathbb{N}\bigr\}\bigr) $$ Los subespacios $U$ $V$ están cerrados por definición, y la intersección $U\cap V\;$ es trivial. Sin embargo, la suma directa de $U+V\;$ no es un subespacio cerrado. En particular, se observa que todos los vectores $\textbf{f}_n$ mentira en $U+V$, pero la suma $$ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\textbf{f}_n $$ no radica en $U+V$. Esto le da una contradicción, ya que $\{1/n\}$ $\ell^2$ de la secuencia.

Answer 2

Edificio en mi otra respuesta, podemos construir un contraejemplo a la pregunta original.

Vamos $\{I_n \mid n\geq 3\}$, $\{I'_n \mid n\geq 3\}$, $\{J_n \mid n\geq 3\}$, y $\{J'_n\mid n\geq 3\}$ eventos mutuamente excluyentes satisfactoria $$ P(I_n) = P(I'_n) = \frac{1}{2n^2}\qquad\text{y}\qquad P(J_n) = P(J'_n)=\frac{1}{2n^4}. $$ Deje $X_1$ $X_2$ ser las variables aleatorias $$ X_1(\omega) =\begin{cases}1/n & \text{if }\,\omega\in I_n \\ -1/n & \text{if }\,\omega\in I'_n, \\ 0 & \text{otherwise},\end{casos} \qquad\text{y}\qquad X_2(\omega) =\begin{cases}1/n & \text{if }\,\omega\in I_n\cup J_n, \\ -1/n & \text{if }\,\omega\in I'_n\cup J'_n, \\ 0 & \text{otherwise},\end{casos} $$ Para cada una de las $n$, vamos a $Y_n$ $Z_n$ ser las variables aleatorias $$ Y_n(\omega)=\begin{cases}n & \text{if }\,\omega\in I_n \\ -n & \text{if } \,\omega\in I'_n \\ 0 & \text{otherwise}\end{casos} \qquad\text{y}\qquad Z_n(\omega)=\begin{cases}n^2 & \text{if }\,\omega\in J_n \\ -n^2 & \text{if } \,\omega\in J'_n \\ 0 & \text{otherwise}\end{casos} $$ A continuación, las funciones $\{Y_n\mid n\geq 3\}$ $\{Z_n \mid n\geq 3\}$ son ortonormales. Por otra parte, $Y_n \in A_1$ por cada $n$, e $Y_n + \frac{1}{n} Z_n \in A_2$ por cada $n$. De ello se desprende que $Z_n\in A_1+A_2$ por cada $n$. Sin embargo, la suma $$ \sum_{n=3}^\infty \frac{1}{n}Z_n $$ no radica en $A_1+A_2$.