Hace $\mathcal P ( \mathbb R ) \otimes \mathcal P ( \mathbb R ) = \mathcal P ( \mathbb R \times \mathbb R )$ ?

Question

Obviamente la respuesta es sí si reemplazo $\mathbb R$ por un conjunto contable.

Si $\mathbb R$ se sustituye por un conjunto $X$ que tenga una cardinalidad mayor, entonces la diagonal $\{ (x,x) , \ x\in X\}$ no está en el producto $\sigma$ -(ver por ejemplo http://david.efnet-math.org/?p=16 ) así que la respuesta es no.

Answer 1

En primer lugar permítanme mencionar que en cuanto a la teoría de la integración y la teoría de la probabilidad, no creo que que mi pregunta sea interesante. Me lo preguntó un estudiante, me di cuenta de que no sabía la respuesta, ni tampoco ninguno de mis colegas, así que la pregunté aquí por curiosidad.

Permítanme resumir la información que he podido obtener hasta ahora. En primer lugar, observe que si $$ \mathcal P ( E ) \otimes \mathcal P ( E ) = \mathcal P ( E \times E ) $$ o no depende sólo de la cardinalidad de $E$ .

La respuesta es obviamente sí cuando $E$ es contable para $E \times E$ también es contable, por lo que todo subconjunto de $E\times E$ es una unión contable de monotonos, por lo que en el producto $\sigma$ -Álgebra.

La respuesta es no si $\vert E \vert > 2^{\aleph_0}$ como se explica allí .

Mi pregunta era: ¿qué pasa en el medio?

Fue demostrado por Rao que la respuesta es sí si $\vert E\vert=\aleph_1$ . Permítanme esbozar su (muy bonito) argumento, algunos conocimientos sobre ordinales es necesario para entenderlo. Consideremos la propiedad, para un conjunto $E$ de tener una secuencia de particiones contables que separan puntos: existe una familia $(A_{i,j})_{i,j\in \mathbb N}$ de subconjuntos de $E$ tal que

• Por cada $i\in \mathbb N$ la secuencia $(A_{i,j})_{j\in \mathbb N}$ es una partición de $E$ .
• Por cada $x\neq y$ en $E$ existe $(i,j)$ tal que $x\in A_{i,j}$ y $y\not\in A_{i,j}$ .

Claramente $\mathbb R$ tiene esta propiedad (dado un número entero $i$ hay una partición de $\mathbb R$ en un número contable de intervalos de longitud $1/i$ ). El ordinal incontable más pequeño $\omega_1$ se puede asignar a $\mathbb R$ en una forma de uno a uno, por lo que también tiene esta propiedad (por cierto me pregunto si hay una manera de demostrar esto directamente, digamos evitando el axioma de elección).

Ahora bien, si un conjunto $E$ tiene esta propiedad, los gráficos pertenecen al producto $\sigma$ -Campo. Por gráfico, me refiero a la gráfica de una función $f \colon F \to E$ donde $F$ es un subconjunto de $E$ . De hecho, si $f$ es una función de este tipo, entonces su gráfica es igual a $$ \bigcap_{i\in \mathbb N} \bigcup_{j\in \mathbb N} f^{-1} ( A_{i,j} ) \times A_{i,j} . $$ Un subconjunto de $E\times E$ cuya sección vertical es contable es una unión contable de grafos, por lo que también pertenece al producto $\sigma$ -y también un subconjunto cuya sección horizontal es contable.

Por último, considere $\{ (\alpha, \beta ) , \ \beta \leq \alpha \in\omega_1\}$ , el subconjunto de la diagonal inferior de $\omega_1 \times\omega_1$ . Su sección vertical por encima de cualquier $\alpha\in \omega_1$ es $\{ \beta \in \omega_1 ,\ \beta \leq \alpha\} = \alpha +1$ que es contable. Del mismo modo, toda sección horizontal del subconjunto diagonal anterior de $\omega_1\times \omega_1$ es contable. Por lo tanto, todo subconjunto de $\omega_1 \times \omega_1$ puede escribirse como la unión de un conjunto cuyos tramos verticales son contables y un conjunto cuyos tramos horizontales son contables, terminando la demostración de $$ \mathcal P ( \omega_1 ) \otimes \mathcal P ( \omega_1 ) = \mathcal P ( \omega_1 \times \omega_1 ) . $$

Por lo tanto, la respuesta a la pregunta original es que sí si $\vert E \vert \leq \aleph_1$ y no si $\vert E \vert > 2^{\aleph_0}$ . Así que bajo la hipótesis del continuo: $\aleph_1 = 2^{\aleph_0}$ la cuestión está completamente resuelta.

Ahora bien, ¿qué pasa si no asumimos la CH? Aparentemente, se ha demostrado allí que existe un modelo de ZFC en el que los espacios de cardinalidad $2^{\aleph_0}$ no tener la propiedad, pero me temo que el documento es demasiado de la lógica y la teoría de modelos para mí.

Para terminar, creo que es la primera vez que un alumno me plantea una pregunta indecidible.

Answer 2

Este problema aparece en la tesis de Kunen (1968). Lo mencioné hace unos meses, aquí