Aplicaciones de la topología algebraica a la física

Question

Siempre me he preguntado por las aplicaciones de la topología algebraica a la física, ya que estoy estudiando topología algebraica y la física es genial y bonita. Mis pensamientos iniciales serían que como la mayoría de los invariantes y construcciones en topología algebraica no pueden diferenciar entre una línea y un punto y $\mathbb{R}^4$ entonces, ¿cómo podríamos conseguir algo físicamente útil?

Por supuesto, sabemos que esto está mal. O al menos a mí me dicen que es incorrecto ya que varias personas me dicen que se usan ambas. Me encantaría ver algunos ejemplos de aplicaciones de la topología o de la topología algebraica para obtener resultados reales o conceptos aclarados en física. Un ejemplo que siempre veo es "la teoría K es el receptáculo adecuado para la carga" y tal vez alguien podría empezar por elaborar eso.

Estoy seguro de que hay otros ejemplos comunes que se me escapan.

Answer 1

Primero una advertencia: No sé mucho acerca de la topología algebraica o sus usos de la física, pero sé de algunos lugares, así que espero que encuentre esto útil.

Defectos topológicos en el espacio

El ejemplo estándar (pero muy bonito) es Efecto Aharonov-Bohm que considera un solenoide y una partícula cargada. Idealizando la situación dejemos que el solenoide sea infinito para obtener ${\mathbb R}^3$ con una línea eliminada.

Como la partícula está cargada se transforma bajo la $U(1)$ teoría gauge. Más precisamente, su fase será transportada paralelamente a lo largo de su trayectoria. Si la trayectoria encierra el solenoide, la fase será no trivial, mientras que si no lo encierra, la fase será cero. Esto se debe a que $$\phi \propto \oint_{\partial S} {\mathbf A} \cdot d{\mathbf x} = \int_S \nabla \times {\mathbf A} \cdot d{\mathbf S} = \int_S {\mathbf B}\cdot d{\mathbf S}$$ y observe que $\mathbf B$ desaparece fuera del solenoide.

La gracia es que, debido al argumento anterior, el factor de fase es un invariante topológico para las trayectorias que van entre algunos dos puntos fijos. Así que esto producirá una interferencia entre caminos topológicamente distinguibles (que podrían tener un factor de fase diferente).

Instantones

Un lugar donde aparece la homotopía son Instantones en las teorías gauge.

En concreto, si se considera un Teoría de Yang-Mills en ${\mathbb R}^4$ (por lo que esto significa tiempo euclidiano) y quieres que la solución (que es una conexión) tenga una energía finita entonces su curvatura tiene que desaparecer en el infinito. Esto te permite restringir tu atención a $S^3$ (de aquí viene el término instantón; está localizado) y aquí es donde entra la homotopía para hablar de las formas topológicamente no equivalentes en que el campo puede envolver $S^3$ . Cosas como estas son realmente importantes en la física moderna (tanto en la QCD como en la teoría de cuerdas) porque los instantones te dan una forma de hablar de los fenómenos no-perturbativos en la QFT. Pero me temo que no puedo decirte nada más que esto. (Espero poder estudiar más estas cosas).

TQFT

El último punto (del que no sé casi nada) se refiere a Teoría cuántica de campos topológicos como Teoría de Chern-Simons . Estos surgen de nuevo en la teoría de cuerdas (como toda la matemática moderna). Y de nuevo, siento no poder decirte más que esto todavía.

Answer 2

Los operadores de fermiones obedecen a $b^2~=~{b^\dagger}^2$ $=~0$ . Esta es una forma de la regla d^2 = 0. La supersimetría permite una cohomología de estados $\psi~\in~ker(Q)/im(Q)$ que es una cohomología. El $Q$ obedece a $Q^2~=~0$ Los estados físicos obedecen $Q\psi~=~0$ pero donde $\psi~\ne~Q\chi$ . Esta es la base de la cuantificación BRST (Becchi, Rouet, Stora y Tyutin).

Answer 3

Sean,

Perdona que responda a una pregunta antigua, pero tengo un ejemplo muy bonito de una aplicación de la topología algebraica avanzada en física (es física vista en experimentos, no teorías especulativas arbitrarias). Se trata de los recién descubiertos "aislantes topológicos".

Se pueden clasificar topológicamente los hamiltonianos libres (matrices/operadores hermitianos) en función de diferentes clases de simetría y dimensión espacial. Resulta que esto puede hacerse utilizando la teoría K topológica (véase la tabla periódica en http://arxiv.org/abs/1002.3895 (tabla 1 de la página 8). Hay una periodicidad doble en las clases de simetría y en la dimensión, originada por la periodicidad de Bott de la teoría K compleja (clasificación de los haces vectoriales complejos hasta la equivalencia estable). Y hay una periodicidad de ocho veces en las otras clases de simetría que se origina en la periodicidad de Bott de la teoría K real. Ver más información aquí: http://arxiv.org/abs/0901.2686 y http://iopscience.iop.org/1367-2630/12/6/065010 (acceso gratuito para ambos).

Además debo mencionar que las 10 clases de simetría se originan matemáticamente en la clasificación de Cartans de los espacios simétricos y las etiquetas en la tabla mencionada provienen de esta clasificación.

(Acabo de ver que antes se mencionaban los aislantes topológicos, pero no estos aspectos).

Answer 4

Marek y Eric han dado buenas respuestas. Creo que muchos físicos de partículas se encontraron por primera vez con la teoría de la homotopía en el contexto de los monopolos magnéticos. Tomemos el grupo gauge del Modelo Estándar $H=SU(3) \times SU(2) \times U(1)$ y lo incrustamos en un grupo gauge GUT $G$ como $SU(5)$ o $SO(10)$ . Suponiendo que no hay degeneración accidental, el espacio de mínimos del potencial de ruptura de simetría es el coset $G/H$ . Las configuraciones estáticas de energía finita deben acercarse a un punto en $G/H$ en el infinito espacial y, por tanto, se clasifican por $\pi_2(G/H)$ que es igual a $\pi_1(H)$ siempre que $\pi_1(G)= 0$ . Desde $\pi_1(H)=\mathbb{Z}$ existe una carga topológica de valor entero para estas configuraciones que resulta ser la carga del monopolo magnético. Las conferencias de Sidney Colemans ( http://ccdb4fs.kek.jp/cgi-bin/img/allpdf?198211084 ) lo explican con mucho más detalle. Los sistemas de materia condensada tienen una gama mucho más amplia de campos de "Higgs" (es decir, parámetros de orden) y, por tanto, tienen patrones de ruptura de simetría mucho más interesantes y complicados y una clasificación mucho más rica de los defectos topológicos por grupos de homotopía. Mermin tiene una revisión muy agradable aquí: http://rmp.aps.org/abstract/RMP/v51/i3/p591_1 .

Answer 5

Todos los ejemplos de Marek son buenos. (He tenido que escribir una nueva respuesta debido a las limitaciones de espacio en los comentarios.) Los instantones son probablemente el mejor lugar para explorar esta relación. Las ecuaciones de Maxwell en el vacío dicen dF = 0 y d*F = 0, donde F es el tensor de intensidad de campo. La carga de una partícula (por la ley de Gauss) puede obtenerse calculando la integral de *F, en una esfera circundante, mientras que la carga magnética (siempre cero, ya que aún no hemos observado monopolos magnéticos de forma fiable) es la integral de F. Ahora bien, si estás estudiando topología algebraica, F es la forma de Chern de la conexión definida por el campo gauge (potencial vectorial), es decir, representa la primera clase de Chern de este haz. Este es el principal ejemplo de cómo una clase característica -que mide el tipo topológico del haz- aparece en la física como un número cuántico, la carga magnética.

De hecho, en la teoría cuántica de campos se nos indica que integremos sobre TODAS las conexiones, incluidas las de diferentes tipos topológicos de haces -- por lo que el espacio de configuración tiene diferentes componentes. Las configuraciones de energía mínima (euclidiana) en estos diferentes componentes se llaman "instantones".

Hay muchos otros ejemplos que implican teorías ligeramente exóticas de la física.