¿Discriminantes y naturaleza de una ecuación ' raíces de s?

Question

Editado: Todas las ecuaciones en el post se supone que tienen todos los reales y los coeficientes son un mínimo de polinomios.

Mientras que tratando de averiguar si el Brioschi quintic $B(x)=x^5-10cx^3+45c^2x-c^2=0$ nunca podría tener $3$ bienes raíces, me llevó a la pregunta de si se puede utilizar el discriminante $D$ a resolver esto.

Para $B(x)$, es dado por $D = 5^5c^8(-1+1728c)^2$ y parece que para quintics, si $D>0$, entonces hay o $0$ o $4$ raíces complejas $C=a+bi$$b\neq0$. De ahí el Brioschi (con coeficientes reales) nunca puede tener $3$ bienes raíces.

Para otros grados $n$, mediante la observación de los datos en la Base de datos de los Campos de Número, yo era capaz de llegar con la siguiente tabla. La segunda y tercera columnas dan el número de raíces complejas $C=a+bi$.

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Degree}\;n&\text{If}\;D>0&\text{If}\;D<0\\ 2&0&2\\ 3&2&0\\ 4&{0,4}&{2}\\ 5&{0,4}&{2}\\ 6&2,6&0,4\\ 7&0,4&2,6\\ 8&{0,4,8}&{2,6}\\ 9&{0,4,8}&{2,6}\\ {10}&2,6,10&0,4,8\\ {11}&0,4,8&2,6,10\\ {12}&{0,4,8,12}&{2,6,10}\\ {13}&{0,4,8,12}&{2,6,10}\\ {14}&{0,4,8,12}&{2,6,10,14}\\ {15}&{0,4,8,12}&{2,6,10,14}\\ \hline \end{array}$$

Preguntas:

1. Es la tabla de verdad?
2. ¿Cómo podemos predecir la segunda y tercera columnas de mucho mayor $n$? Por ejemplo, para$n=163$, ¿la segunda columna se inicia como $0,4,8,12,\dots$ o $2,6,10,14,\dots$?

Answer 1

Creo que hay un error en la tabla.

Brill del teorema afirma que el signo del discriminante de una expresión algebraica campo número de $(-1)^{r_2}$ donde $r_2$ es el número de lugares complejos. Cuando tenemos una base de poder para nuestro número de campo, el mínimo polinomio generador tendrá $2r_2$ raíces complejas. Por lo tanto la columna de $D>0$ debe contener sólo números enteros divisibles por $4$, y al $D<0$ tenemos un número de raíces complejas $\equiv 2\pmod{4}$.

Para un ejemplo específico, $$x^3-x^2-3x+1$$ tiene tres raíces reales y un discriminante de 148.

Answer 2

No creo que la tabla es correcta. $f = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)$ tiene discriminante $1194393600 > 0$ y 0 raíces complejas.

No tiene una cita directa de una fuente de buena reputación, pero la página de Wikipedia enlazado dice en general $D > 0$ hay un entero $0 \leq k \leq \frac{n}{4}$ que hay raíces complejas de $4 k$ y $D < 0$ allí es un número entero $0 \leq k' \leq \frac{n-2}{4}$ tal que hay $4k' + 2$ complejo raíces, que no del acoplamiento con la mesa.