Integral de $\int{\frac{dx}{(\arcsin{x})\sqrt{1-x^2}}}$

Question

Estoy teniendo un problema la solución de una integral. Yo estoy atrapado en un bucle infinito. Integral es:

$$\int{\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}\arcsin{x}}}$$

He separado en dv y u de esta manera:

$$u = \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$$ $$dv = \frac{1}{\arcsin{x}}$$

Y el uso de:

$$u v - \int{v \, du}$$

Yo de nuevo:

$$\int{\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}\arcsin{x}}}$$

No lo sé, pero probablemente, yo estoy haciendo algo mal. Soy nuevo en la resolución de las Integrales así que estoy aprendiendo :) Según mi libro el resultado debe ser:

$$\ln({\arcsin{x}})-C$$

Y será verdad, si no me había $$\sqrt{1-x^2}$$, pero en este camino no tengo idea.

Answer 1

No usar integración por partes. Utilizar $u$-sustitución. Que $u=\sin^{-1}(x)$. Entonces $du=dx/\sqrt{1-x^2}$

Así que ahora tu integral es $$\int \frac{du}{u}$ $

Answer 2

Nota: Tu comentario al final es incorrecta. Es no cierto ese % $ $$\int\frac{dx}{\arcsin x} = \ln(\arcsin x)+ C\tag{Wrong!}$

Esto es, por desgracia, un error común. No caen para él otra vez!

Mientras $$\int\frac{dx}{x} = \ln|x|+C$$ is true, in general, $$\int\frac{dx}{f(x)}$$ is not equal to $\ln|f(x)|+C$. If you differentiate $\ln|f(x)|$, you'll notice that you get $\frac{f'(x)}{f(x)} $. It is precisely because you have a $\frac {1} {\sqrt {1-x ^ 2}} $ que hacen obtener el logaritmo natural de un arcoseno.

Answer 3

Método de "Otro", que en realidad es como sustitución, pero con práctica y atención, tal vez sea un poco más rápido. Desde $\,\displaystyle{(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}\,$ y suponiendo que sabemos $\,\displaystyle{\int\frac{f'}{f}\,dx=\log|f|+C}\,$, podemos escribir

$$\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}\arcsin x}\,dx=\int \frac{1}{\arcsin x}\,\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx=$$$$=\int \frac{1}{\arcsin x} \,d(\arcsin x) = \log|\arcsin x | + C$ $

Answer 4

$arcsinx = u$ % entonces $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx = du $. En la integral será: $ \int u^{-1}du $ $lan|u|+c$ o simplemente $lan|arcsinx|+c$.