Subgrupo finito de $\text{SO}(3)$ actúa sobre el conjunto de puntos de la esfera unitaria en $\mathbb{R}^3$ que se fijan mediante alguna rotación no trivial en $G$

Question

Dejemos que $G$ sea un subgrupo finito no trivial de $\text{SO}(3)$ . Sea $X$ sea el conjunto de puntos de la esfera unitaria en $\mathbb{R}^3$ que se fijan mediante alguna rotación no trivial en $G$ . Tengo dos preguntas.

1. ¿Cómo puedo ver que $G$ actúa sobre $X$ y que el número de órbitas es $2$ ou $3$ ?
2. ¿Qué es? $G$ es que sólo hay $2$ ¿Órbitas?

Answer 1

Cualquier rotación no trivial en $\text{SO}_3$ tiene una colección de puntos fijos siendo un $1$ -subespacio dimensional de $\mathbb{R}^3$ - su eje de rotación. Dicho subespacio se encuentra con la esfera unitaria exactamente en dos puntos antípodas, y por tanto $X$ consiste en el conjunto de estos puntos antípodas, que suelen llamarse polos. Para mostrar $G$ actúa sobre $X$ , si $P \in X$ es un polo de $g \in G$ y $h \in G$ es algún otro elemento, entonces $h(P)$ se fija en $hgh^{-1} \in G$ y por lo tanto $h(P)$ es un polo de otro elemento de $G$ y por lo tanto $h(P) \in X$ .

Como todo elemento no trivial de $G$ fija exactamente dos puntos de $X$ mientras que la identidad fija todas las $X$ podemos contar que el número de órbitas distintas de la acción es:

$$ \text{number of orbits} = \frac{1}{|G|} \sum_{g\in G} |\text{Fix}_g(X)| = \frac{1}{|G|} (2(|G| - 1) + |X|).$$

Si dejamos que el número de órbitas sea $m$ y que $x_1, \ldots , x_m$ sean representantes de cada órbita en $X$ , entonces podemos escribir:

$$ 2\left(1-\frac{1}{|G|} \right)= m - \frac{|X|}{|G|} = m - \frac{\sum_{i=1}^m |\text{Orb}_G(x_i)|}{|G|} = \sum_{i=1}^m \left( 1 - \frac{1}{|\text{Stab}_G(x_i)|} \right).$$

Desde $|G| \geq 2$ vemos que $$ 1 \leq 2\left(1-\frac{1}{|G|}\right) < 2,$$ mientras que cualquier estabilizador $\text{Stab}_G(x_i)$ debe contener al menos dos puntos - la identidad, y la rotación relevante no trivial de la cual $x_i$ es un polo, y por lo tanto tenemos $${1\over2} \leq \left( 1 - \frac{1}{|\text{Stab}_G(x_i)|} \right) < 1.$$ Así, $m$ debe ser igual a $2$ ou $3$ .

Si $m = 2$ vemos que $$2\left(1-\frac{1}{|G|}\right)=m - \frac{\sum_{i=1}^m |\text{Orb}_G(x_i)|}{|G|}$$ se reordena para $$|\text{Orb}_G(x_1)| + |\text{Orb}_G(x_2)| = 2$$ y hay exactamente dos polos en $X$ que debe ser antipodal, y así $G$ consiste en rotaciones alrededor de un eje de rotación específico, que pasa por $x_1$ y $x_2$ . Desde $G$ es finito, se puede demostrar que $G$ es cíclico al considerar la rotación en $G$ de menor ángulo sobre el eje para demostrar que genera $G$ - mostrar que cualquier otra rotación es por un ángulo que es un múltiplo entero del ángulo menor.