Clases de GACION en $A_n$.

Question

Supongamos $n$ no es entero negativo $\geq 4$ $\sigma\in S_n$ una permutación. Clases Conjugacy en $S_n$ son completley determinado por la estructura del ciclo de $\sigma$. Si dejamos que la alternancia de grupo $A_n$.actuar en $S_n$ por la conjugación, las órbitas coinciden con las clases conjugacy en $S_n$, excepto para los que (aún) permutaciones cuyo ciclo de estructura se compone de incluso ciclos (que corresponde a los ciclos de desigual longitud) de distinto orden (puntos fijos son tratados como ciclos de longitud $1$.) Ver http://groupprops.subwiki.org/wiki/Splitting_criterion_for_conjugacy_classes_in_the_alternating_group

Por ejemplo, una $3$-ciclo de trabajo en $A_4$ tiene la estructura del ciclo de $[3,1]$ que se ajusta a la ley, y un $5$-ciclo de trabajo en $A_5$ o $A_6$ trabaja demasiado, ya que la estructura del ciclo de es $[5]$ $[5,1]$ respectivamente. Por otro lado, una $3$-ciclo de trabajo en $A_5$ le no satisfacen el criterio que tiene la estructura del ciclo de $[3,1,1]$, con dos puntos fijos.

En este caso, la clase conjugacy de $\sigma$ dentro $S_n$ se divide en $2$ órbitas de la conjugación de la acción de $A_n$, y si $\tau$ es cualquier permutación impar, por ejemplo,$(12)$, luego tenemos a $$\mathrm{Conj}_{S_n}(\sigma)=\mathcal{O}(\sigma)\coprod\mathcal{O}(\tau\sigma\tau^{-1})$$

Mi pregunta es ¿Cómo podemos diferenciar entre las dos órbitas? ¿Tiene sentido geométrico?

Puedo ver que esta información puede ser útil cuando se busca en las representaciones de la alternancia de los grupos, ya que hay muchas representaciones irreducibles como clases conjugacy. Como para algunos interpretación geométrica, lo pregunto porque no es uno de los tres ciclos en $A_4$. Si $S_4$ se entiende como el grupo de simetrías de un tetraedro regular, a continuación, $A_4$ es el subgrupo de directo simetrías, y un $3$-ciclo corresponde a una rotación de ángulo de $\frac{2\pi}{3}$ o $\frac{4\pi}{3}$ con eje que pasa a través de uno de los vértices. Clases Conjugacy dentro de $A_n$ preservar el ángulo, y eso es cómo podemos distinguirlos. En este caso, los cálculos son tan simples que no necesitamos realmente esta foto, pero creo que es una buena manera de entender el hecho de $3$-ciclos en los que no son todos conjugar dentro de $A_4$...

Answer 1

La declaración que haga acerca de tetraedros generaliza arbitraria $n$. Específicamente, el grupo simétrico $S_n$ es el grupo de simetrías de un regular $n$-simplex, y en la alternancia de grupo $A_n$ actúa en este simplex por las rotaciones. (De hecho, $A_n$ es, precisamente, el conjunto de simetrías de rotación.) Elementos de las diferentes clases conjugacy de $A_n$ son geométricamente distinguibles, en el sentido de que "otro aspecto" para un observador en $\mathbb{R}^n$.

Una manera de hacer que la noción de "otro aspecto" preciso es que no conjugado elementos de $A_n$ corresponden a no conjugado elementos de la rotación de grupo $SO(n)$. Por lo tanto, dos no conjugado elementos de $A_n$ no se ven de la misma hasta a la rotación de la cara.

Por cierto, la más simple algoritmo para distinguir las clases conjugacy en $A_n$ es esencialmente para comprobar el signo de la conjugador de verbos. Por ejemplo, los elementos $(5)(2\;6\;3)(1\;9\;4\;8\;7)$ $(2)(1\;4\;8)(3\;7\;5\;6\;9)$ son conjugado en $S_9$, y su clase conjugacy en $S_9$ se divide en dos clases conjugacy en $A_9$. Para comprobar si los dos elementos se conjugan de $A_9$, consideramos que una permutación que se asigna entre los números correspondientes: $$\begin{bmatrix} 5 & 2 & 6 & 3 & 1 & 9 & 4 & 8 & 7\\ 2 & 1 & 4 & 8 & 3 & 7 & 5 & 6 & 9 \end{bmatrix} \;=\; (1\;3\;8\;6\;4\;5\;2)(7\;9)$$ Esta permutación es impar, por lo que los dos elementos no están en la misma clase conjugacy en $A_9$. Es posible interpretar este algoritmo geométricamente, ya que la diferencia entre los pares y los impares permutaciones es la misma que la diferencia entre diestros y zurdos sistemas de coordenadas.