¿Todas las funciones integrables de Lebesgue deben ser realmente invertibles?

Question

Estoy estudiando la integración de Lebesgue después de un curso de integración de Riemann, y la definición de función medible es la siguiente:

$f:{\mathbb R}\rightarrow {\mathbb R}$ es medible si la preimagen $f^{-1}((-\infty, a))$ es medible para cada $a\in {\mathbb R}.$

Así que esto implica necesariamente que una función no sería integrable en Lebesgue si no tiene inversa, ya que no sería medible.

Pero no recuerdo esta restricción para las integrales de Riemann. ¿O es que se supone implícitamente que toda función integrable de Riemann es invertible?

Answer 1

$f^{-1}(A)$ es el preimagen del conjunto $A$ existe incluso si $f$ no es invertible. Para $f: X\to Y$ se define como

$$f^{-1}(A) = \{x\in X: f(x)\in A\}.$$

La notación es ligeramente confusa, diría yo, pero uno se acostumbra a ella. En realidad no es una notación tan mala, ya que, si $f$ es realmente invertible y su inversa es $g$ entonces $g(A) = f^{-1}(A)$ (por lo que el preimagen de $A$ según $f$ es el imagen de $A$ según $f^{-1}$ ).

Answer 2

$f^{-1}$ aquí no significa la inversa de $f$ . Es un uso excesivo de la notación y puede ser muy engañoso. $f^{-1}(A)$ donde $A$ es un conjunto es la preimagen, es decir

$$f^{-1}(A) = \{x\in X: f(x) \in A\}.$$

La imagen previa siempre existe. Si $f$ fueran invertibles, entonces esto coincidiría con lo que piensas; sin embargo, la preimagen se encarga del aspecto multivalente.

Por ejemplo $f:[-1,2]\to\mathbb{R}$ definido por $f(x) = x^2$ . Esto no es invertible como se puede ver por, por ejemplo, $f(-1) = 1 = f(1)$ . Sin embargo,

$$f^{-1}([0,1]) = \{x\in [-1,2]:f(x) \in[0,1]\}.$$

El conjunto de $x$ que resuelven esto son los $x$ en $[-1,1]$ ya que al cuadrarlos se obtiene algo en $[0,1]$ .

Esta función no es invertible, pero es continua en un conjunto de medida de Lebesgue finita, por lo que es integrable en Lebesgue.

Answer 3

Para cualquier función $f : \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ el conjunto $f^{-1}( a, \infty)$ siempre existe, y se define por $$ \{ x: \in \mathbb R : f(x) > a \}, $$ aunque no siempre es medible.