Supongo que la respuesta correcta es $(1-\Theta(1/n)) 2^n$, aunque yo no puedo demostrar que.
Aquí es probabilística de la construcción que da $(1-O(\log n/n))2^n$. El$\log n$, probablemente puede ser eliminado. Deje $0 \leq w < n$. Elija una cierta probabilidad de $p$, y poner cada una de las $x \in \binom{n}{w+1}$ en un conjunto $S_{w+1}$ con una probabilidad de $p$. La probabilidad de que algunos $y \in \binom{n}{w}$ no cubiertos por algunas en $S_{w+1}$$(1-p)^{n-w}$, y lo puso todo en algunos de $T_w$. Se verá más adelante tirar tanto $S_{w+1}$$T_w$. El tamaño esperado de ambos conjuntos juntos es $p\binom{n}{w+1} + (1-p)^{n-w} \binom{n}{w}$, y hay alguna opción para lograrlo. La elección de $p = \log(n-w)/(n-w)$, obtenemos $(1-p)^{n-w} \approx 1/(n-w) < p$. Al $w \leq (1-\epsilon) n$ (para algunos arbitraria constante $0 < \epsilon < 1/2$), $p \leq \log n/(\epsilon n)$. Por lo tanto tomando todos los conjuntos de peso en la mayoría de las $(1-\epsilon) n$ y la eliminación de todas las $T_w$$S_{w+1}$, obtenemos un conjunto de satisfacciones de su propiedad cuya densidad es $1-\log n/(\epsilon n)$. (El peso total de los conjuntos de peso de más de $(1-\epsilon) n$ es infinitamente pequeño.)
Con el fin de eliminar la $\log n$, podemos tratar de forma inteligente elija $S_{w+1}$. El cálculo muestra que para obtener el $T_w = \emptyset$ necesitamos $|S_{w+1}| \geq 1/(n-w) \binom{n}{w+1}$, y me imagino que hay una construcción de casi el logro de esta. Este tipo de construcción daría una familia de tamaño $(1-O(1/n))2^n$.
Aquí es una cota superior de a $(1-\Omega(1/n))2^n$. Dada una familia de $\mathcal{F}$, vamos a $S_w = \mathcal{F} \cap \binom{n}{w}$ pertenece a la familia. Ya que cada conjunto en $\binom{n}{w+1}$ cubre en la mayoría de las $w+1$ pone en $S_w$, al menos $|S_w|/(w+1)$ define que debe ser omitido de la familia. Si $|S_w| = \alpha \binom{n}{w}$
$$ \frac{|S_w|}{w+1} = \frac{\alpha}{n-w} \binom{n}{w+1}. $$
Por tanto, para $w < (1-\epsilon)n$ (para algunos arbitraria constante$0 < \epsilon < 1/2$), $|S_w| < (1/2) \binom{n}{w}$ o $|S_{w+1}| < (1-1/(2\epsilon n)) \binom{n}{w+1}$ (podríamos optar por un mejor corte en lugar de $1/2$ para obtener una mejor constantes). En total, utilizando de nuevo el hecho de que los grandes conjuntos de una manera exponencial pequeña fracción de todos los conjuntos, obtenemos que $|\mathcal{F}| \leq (1-\Omega(1/n))2^n$.
