Conocer cierta terminología de espacios métricos

Question

En el curso de mi estudio de espacios métricos he llegado a través de cierta terminología que parece que no puedo entender totalmente.

Así, suponiendo que $X=\mathbb{R}$, y $\mathbb{Q}\subset X$ es el conjunto de los números racionales, qué son exactamente:

• $\mathbb{Q}^\circ$
• int $\mathbb{Q}$
• $\partial\mathbb{Q}$
• $\bar{\mathbb{Q}}$

Por todas partes que miraba, siempre hay una explicación muy confusa.

Answer 1

Creo que los dos primeros indican el interior, el tercer límite, y el cuarto de cierre.

El interior de un conjunto es el mayor conjunto abierto incluido en el mismo. De manera equivalente, es la unión de todos los conjuntos incluidos en el mismo: $$\operatorname{int} S\equiv\bigcup\{U\,|\,U\text{ is open and }U\subseteq S\}.$$

De forma análoga, el cierre de un conjunto es el menor conjunto cerrado que incluye. De manera equivalente, es la intersección de todos los conjuntos cerrados, incluyendo: $$\overline S\equiv\bigcap\{C\,|\,C\text{ is closed and }S\subseteq C\}.$$

El límite de un conjunto es simplemente el conjunto de puntos en el cierre, pero no en el interior: $$\partial S\equiv \overline S\setminus\operatorname{int} S.$$

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En el caso de los racionales, uno tiene que \begin{align*} \operatorname{int}\mathbb Q=&\,\varnothing,\\ \overline{\mathbb Q}=&\,\mathbb R,\\ \partial{\mathbb Q}=&\,\mathbb R. \end{align*}

Por qué? Tenga en cuenta que todos los no-vacío abierto subconjunto de $\mathbb R$ no está vacío intervalo abierto y todos los no-intervalo vacío, a su vez, contiene los números irracionales. Por lo tanto, $\mathbb Q$ no tiene ningún no-vacío conjunto abierto como su subconjunto, de manera que la mayor conjunto abierto incluido en es el conjunto vacío.

Por otro lado, si $C\subseteq\mathbb R$ es un conjunto cerrado que contiene a$\mathbb Q$, $C$ debe contener todos los irrationals, también, porque cada irracional es un límite de alguna secuencia de los números racionales y el conjunto de $C$ es cerrado. Por lo tanto, debe ser el caso de que $C=\mathbb R$. De ello se desprende que el menor conjunto cerrado que contiene a $\mathbb Q$ es, de hecho, $\mathbb R$.

Answer 2

Int $\mathbb{Q} = \emptyset$, ya que, si usted tiene un arbitrario $x \in \mathbb{Q}$, no importa cómo usted elige un $r>0$, el x-centrada en el balón ($B(x,r)$) $r$ radio siempre contendrá un número irracional, por lo tanto no es un punto interno. Desde nuestra $x$ fue arbitraria, el conjunto de interal puntos debe estar vacío. $\rightarrow Int \mathbb{Q} = \emptyset$

Vamos a discutir $\bar{\mathbb{Q}}$ el próximo. $\bar{\mathbb{Q}} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{Q'}$. Vamos a tener un arbitrario $x \in \mathbb{R}$, no importa cómo usted elige un $r>0$, el x-centrada en el balón ($B(x,r)$) $r$ radio siempre contendrá un número racional, por lo tanto, todos los $x$ será elemento de $\mathbb{Q'}$, lo $\bar{\mathbb{Q}}= \mathbb{Q} \cup \mathbb{Q'}= \mathbb{Q} \cup \mathbb{R}=\mathbb{R}$. Por eso, tendemos a decir, que los números racionales son densos.

$\partial\mathbb{Q}=\bar{\mathbb{Q}}$ \ $Int(\mathbb{Q})$. Ya hemos discutido, que $Int(\mathbb{Q}) = \emptyset$, que va a ser$\mathbb{R}$.

Por el camino, $\mathbb{Q}^\circ$ e int $\mathbb{Q}$ son equivalentes.

Answer 3

1. $\Bbb{Q}° = \operatorname{int}(\Bbb{Q})$

En general, dado un espacio métrico $X$ tenemos que $x$ es un interior de punto de $X$ si no existe una $\epsilon > 0$ tal que $B(x,\epsilon) \subset X$. El conjunto $\operatorname{int}(X)$ consta de todos los puntos del interior de $X$.

En nuestro caso queremos encontrar $\operatorname{int}(\mathbb{Q})$. Vamos a ver que $\operatorname{int}(\mathbb{Q}) = \emptyset $. Supongo que no, por lo que no existe$x \in \operatorname{int}(\mathbb{Q})$, pero ¿qué significa esto? Bueno, que no existe $\epsilon >0$ tal que $B(x,\epsilon) \subset \Bbb{Q}$ pero, sabemos que entre cualesquiera dos números reales existe un número irracional entre ellos, (ya que el irrationals son densos en $\Bbb{R}$) por lo tanto, sabemos que debe haber un irracional $y \in (x,x+\epsilon)$, lo que contradice el hecho de que $B(x,\epsilon)=(x-\epsilon,x+\epsilon) \subset \Bbb{Q}$ $\operatorname{int}(\mathbb{Q})=\emptyset$

2. $\operatorname{cl}(\mathbb{Q})=\overline{\Bbb{Q}}$

El cierre de un conjunto $X$ es la unión entre el $X$ y su acumulación de puntos, que es $\operatorname{cl}(X)=X \cup X'$ donde $X'$ es el conjunto de acumulación de puntos. Así que, ¿qué es un punto de acumulación? Bien, $x$ es decir para ser un acummulation punto de $X$ si para cada $\epsilon >0$, $B(x,\epsilon) \cap X \neq \emptyset$. Y, por tanto, $X'$ consta de todos los acumulation puntos de $X$

Ahora, en nuestro caso tenemos $\Bbb{Q}$ y queremos averiguar $\Bbb{Q}'$. Vamos a ver que $\Bbb{Q}'= \mathbb{R}$. Tome $x \in \Bbb{R}$, queremos ver ese $x \in \Bbb{Q}'$ (la otra inclusión es trivial). Ok, ya $\Bbb{Q}$ es denso en $\Bbb{R}$ tenemos que para cualquier $\epsilon >0$, $B(x,\epsilon)\cap \Bbb{Q} \neq \emptyset$ y, por tanto,$x \in \Bbb{Q}'$, concluyendo que la $\operatorname{cl}(\Bbb{Q})=\Bbb{Q} \cup \Bbb{Q}'=\Bbb{R}$.

3. Finalmente, $\partial(X)=\operatorname{cl}(X)-\operatorname{int}(X)$. En nuestro caso, $\partial(\Bbb{Q})=\operatorname{cl}(\Bbb{Q})-\operatorname{int}(\Bbb{Q})=\Bbb{R}-\emptyset = \Bbb{R}$